【題目】已知拋物線C：y=2x2 ， 直線l：y=kx+2交C于A，B兩點(diǎn)，M是線段AB的中點(diǎn)，過M作x軸的垂線C于點(diǎn)N．
（1）證明：拋物線C在點(diǎn)N處的切線與AB平行；
（2）是否存在實(shí)數(shù)k使以AB為直徑的圓M經(jīng)過點(diǎn)N，若存在，求k的值，若不存在，說明理由．

【答案】
（1）證明：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），

把y=kx+2代入y=2x2得2x2﹣kx﹣2=0，

得x1+x2= ．

∵xN=xM= = ，∴N點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ， ）．

∵y′=4x，∴y′| =k，

即拋物線在點(diǎn)N處的切線的斜率為k．

∵直線l：y=kx+2的斜率為k，

∴l(xiāng)∥AB


（2）解：假設(shè)存在實(shí)數(shù)k，使AB為直徑的圓M經(jīng)過點(diǎn)N．

由于M是AB的中點(diǎn)，∴|MN|= |AB|．

由（1）知yM= （y1+y2）= （kx1+2+kx2+2）

= [k（x1+x2）+4]= （4+ ）=2+ ，

由MN⊥x軸，則|MN|=|yM﹣yN|=2+ ﹣ = ，

∵|AB|=

= =

由 =

∴k=±2，

則存在實(shí)數(shù)k=±2，使AB為直徑的圓M經(jīng)過點(diǎn)N


【解析】（1）設(shè)A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），聯(lián)立直線方程和拋物線方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，可得M，N的坐標(biāo)，再由y=2x2的導(dǎo)數(shù)，可得在點(diǎn)N處的切線斜率，由兩直線平行的條件即可得證；（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)k，使AB為直徑的圓M經(jīng)過點(diǎn)N．由于M是AB的中點(diǎn)，則|MN|= |AB|，運(yùn)用弦長公式計(jì)算化簡整理，即可求得k=±2，故存在實(shí)數(shù)k，使AB為直徑的圓M經(jīng)過點(diǎn)N．

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f(x)＝2ax－x2－3ln x，其中a∈R，為常數(shù)．

(1)若f(x)在x∈[1，＋∞)上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(2)若x＝3是f(x)的極值點(diǎn)，求f(x)在x∈[1，a]上的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的方程為（x﹣ ）2+（y+1）2=9，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．
（1）求圓C的極坐標(biāo)方程；
（2）直線OP：θ= （p∈R）與圓C交于點(diǎn)M，N，求線段MN的長．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】橢圓： （a＞b＞0），左右焦點(diǎn)分別是F1 ， F2 ， 焦距為2c，若直線 與橢圓交于M點(diǎn)，滿足∠MF1F2=2∠MF2F1 ， 則離心率是（ ）
A.
B. -1
C.
D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知點(diǎn),，在拋物線上，的重心與此拋物線的焦點(diǎn)重合（如圖）

（I）寫出該拋物線的方程和焦點(diǎn)的坐標(biāo)；

（II）求線段中點(diǎn)的坐標(biāo)；

（III）求弦所在直線的方程

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓C： (a>b>0)的一個(gè)頂點(diǎn)為A(2,0)，離心率為.直線y＝k(x－1)與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M，N.

(1)求橢圓C的方程；

(2)當(dāng)△AMN的面積為時(shí)，求k的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)y=f（x）的定義在實(shí)數(shù)集R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x∈（﹣∞，0）時(shí)，xf′（x）＜f（﹣x）（其中f′（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)），若a= f（ ），b=（lg3）f（lg3），c=（log2 ）f（log2 ），則（ ）
A.c＞a＞b
B.c＞b＞a
C.a＞b＞c
D.a＞c＞b

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】求適合下列條件的雙曲線的方程：

(1) 虛軸長為12，離心率為；

(2) 焦點(diǎn)在x軸上，頂點(diǎn)間距離為6，漸近線方程為.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=ax2﹣x，若對任意x1 ， x2∈[2，+∞），且x1≠x2 ， 不等式 ＞0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A.
B.
C.
D.

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