Question

4．已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C滿(mǎn)足sin（180°-A）=$\sqrt{2}$cos（B-90°），$\sqrt{3}$cosA=-$\sqrt{2}$cos（180°+B），求角A，B，C的大小．

Answer 1

分析 由sin（180°-A）=$\sqrt{2}$cos（B-90°），化為sinA=$\sqrt{2}$sinB．$\sqrt{3}$cosA=-$\sqrt{2}$cos（180°+B），可得$\sqrt{3}$cosA=$\sqrt{2}$cosB，利用平方關(guān)系可得：cos²A=$\frac{1}{2}$，由已知可得A，B都為銳角，可得A．又由$\sqrt{3}$cosA=$\sqrt{2}$cosB，可得B，C=π-$\frac{π}{4}$$-\frac{π}{6}$．

解答 解：∵sin（180°-A）=$\sqrt{2}$cos（B-90°），∴sinA=$\sqrt{2}$sinB，①
∵$\sqrt{3}$cosA=-$\sqrt{2}$cos（180°+B），∴$\sqrt{3}$cosA=$\sqrt{2}$cosB，②
∴①²+②²可得：cos²A=$\frac{1}{2}$，∴$cosA=±\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵A∈（0，π），由②可知：cosA與cosB同號(hào)．
因此A，B都為銳角，
∴cosA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
A=$\frac{π}{4}$．
又由$\sqrt{3}$cosA=$\sqrt{2}$cosB，
∴cosB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴B=$\frac{π}{6}$．
∴C=π-$\frac{π}{4}$$-\frac{π}{6}$=$\frac{7π}{12}$．
∴A=$\frac{π}{4}$，B=$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{12}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、三角形內(nèi)角和定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．