Question

已知函數(shù)f（x）=x²，g（x）=-x²+bx-10，且直線y=4x-6是曲線y=g（x）的一條切線．
（1）求b的值；
（2）求與曲線y=f（x）和y=g（x）都相切的直線方程．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：計算題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（1）設(shè)出切點，求出導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，結(jié)合切點在切線上和曲線上，滿足方程，解方程可得b；
（2）設(shè)出切線方程y=kx+t，聯(lián)立切線方程和拋物線方程，消去y，得到x的方程，由判別式為0，解方程即可得到k，t，進而得到切線的方程．

解答： 解：（1）g（x）=-x²+bx-10的導(dǎo)數(shù)為g′（x）=-2x+b，
設(shè)切點為（m，n），則切線的斜率為b-2m=4，
又n=4m-6，n=-m²+bm-10，
解得b=0或8；
（2）設(shè)與曲線y=f（x）和y=g（x）都相切的直線方程為y=kx+t．
由

y=kx+t y=x2

可得x²-kx-t=0，由相切的條件可得k²+4t=0，①
由

y=kx+t y=-x2-10

可得x²+kx+10+t=0，由相切的條件可得k²-4（10+t）=0，②
或由

y=kx+t y=-x2+8x-10

可得x²+（k-8）x+10+t=0，由相切的條件可得（k-8）²-4（10+t）=0，③
由①②解得k=±2

5

，t=-5；
由①③解得k=2，t=-1或k=6，t=-9．
當k不存在時，顯然不成立．
則與曲線y=f（x）和y=g（x）都相切的直線方程為：
y=±2

5

x-5或y=2x-1或y=6x-9．

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線方程，主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及直線與拋物線相切的條件，屬于基礎(chǔ)題．