Question

廣東省第十四屆運(yùn)動會將在湛江舉行，組委會招募了12名男志愿者和18名女志愿者，將這30名志愿者的身高編成如圖所示的莖葉圖（單位：cm），身高在175cm以上（包括175cm）定義為“高個子”身高在175cm以下（不包括175cm）定義為“非高個子”．

（1）如果用分層抽樣的方法從“高個子”和“非高個子”中抽取5人，再從這5人中選2人，求至少有一人是“高個子”的概率；
（2）若從身高180cm以上（包括180cm）的志愿者中選出男、女各一人，設(shè)這2人身高相差ξcm（ξ≥0），求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望（均值）．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,頻率分布直方圖,離散型隨機(jī)變量及其分布列

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（1）根據(jù)莖葉圖知“高個子”有12人，“非高個子”有18人，用分層抽樣方法得到抽取的5人中，“高個子”有2人，“非高個子”有3人，由此能求出至少有一人是“高個子”的概率．
（2）由莖葉圖知，有3名男志愿者身高在180cm以上，（含180cm），有2名女志愿者身高在180cm以上，（含180cm），從身高180cm以上（包括180cm）的志愿者中選出男、女各一人，基本事件總數(shù)n=

C

1 3

C

1 2

=6，ξ的可能取值為0，1，2，3，4，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望（均值）．

解答： 解：（1）根據(jù)莖葉圖知“高個子”有12人，“非高個子”有18人，
用分層抽樣方法，每個人被抽中的概率是

5

30

=

1

6

，
∴抽取的5人中，“高個子”有12×

1

6

=2人，
“非高個子”有18×

1

6

=3人，
∴至少有一人是“高個子”的概率是P=

C 2 2 + C 1 2 C 1 3

C 2 5

=

7

10

．
（2）由莖葉圖知，有3名男志愿者身高在180cm以上，（含180cm），
身高分別為181cm，182cm，184cm，
有2名女志愿者身高在180cm以上，（含180cm），
身高分別為180cm，181cm，
從身高180cm以上（包括180cm）的志愿者中選出男、女各一人，
基本事件總數(shù)n=

C

1 3

C

1 2

=6，
即（181，180），（181，181），（182，180），（182，181），
（184，180），（184，181），
∴ξ的可能取值為0，1，2，3，4，
P（ξ=0）=

1

6

，P（ξ=1）=

2

6

，P（ξ=2）=

1

6

，
P（ξ=3）=

1

6

，P（ξ=4）=

1

6

，
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3	4
P	1 6	2 6	1 6	1 6	1 6

Eξ=0×

1

6

+1×

2

6

+2×

1

6

+3×

1

6

+4×

1

6

=

11

6

．

點(diǎn)評：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時要注意分層抽樣和莖葉圖性質(zhì)的合理運(yùn)用．