Question

定義在上的函數(shù)當(dāng)時(shí)，，且對任意的有。
（1）求證：，
（2）求證：對任意的，恒有；
（3）若，求的取值范圍。

Answer 1

(1)見解析(2) 見解析(3)

解析試題分析：解抽象函數(shù)問題多用賦值法,找出其單調(diào)性奇偶性來解決不等問題.
（Ⅰ）令，且時(shí)，,可求；
（Ⅱ）令，易求，由已知時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，,從而可證結(jié)論；
（Ⅲ）任取，依題意，可證
，從而可證是上的增函數(shù),再根據(jù)單調(diào)性來解不等式．
試題解析：
(1)證明: 令，得,
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/e1/1/pgeny1.png" style="vertical-align:middle;" />時(shí)，所以
(2) 令，得
即
因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，
所以當(dāng)時(shí)，，，
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/a5/3/fmrc7.png" style="vertical-align:middle;" />
所以對任意的，恒有
(3) 任取，依題意，可得

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/c5/c/1tshx2.png" style="vertical-align:middle;" />,所以,所以
又因?yàn)閷θ我獾?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/9b/9/bmbw51.png" style="vertical-align:middle;" />，恒有
所以即
所以是上的增函數(shù)
由
可得其解集:
考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用；函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明；函數(shù)恒成立問題,二次不等式．