Question

15．對(duì)于任意實(shí)數(shù)x不等式e^x-ax-b≥0恒成立，則ab的最大值為（　�。�

• A． $\sqrt{e}$
• B． e²
• C． e
• D． $\frac{e}{2}$

Answer 1

分析 設(shè)函數(shù)f（x）=e^x-ax-b，則f（x）≥0恒成立，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分別討論a=0，a＜0，a＞0的情況，從而得出ab的最大值．

解答 解：設(shè)函數(shù)f（x）=e^x-ax-b，則f（x）≥0恒成立?f（x）_min≥0恒成立．
由于f′（x）=e^x-a，
若a=0，則f（x）=e^x-b≥-b≥0，
得b≤0，此時(shí)ab=0；
若a＜0，則f′（x）＞0，函數(shù)單調(diào)增，此時(shí)f（-∞）→-∞，不可能恒有f（x）≥0．
若a＞0，則得極小值點(diǎn)x=lna，由f（lna）=a-alna-b≥0，得b≤a（1-lna）
ab≤a²（1-lna）=g（a）
現(xiàn)求g（a）的最小值：由g'（a）=2a（1-lna）-a=a（1-2lna）=0，得極小值點(diǎn)a=${e}^{\frac{1}{2}}$
g（${e}^{\frac{1}{2}}$）=$\frac{e}{2}$
所以ab的最大值為$\frac{e}{2}$，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，滲透了分類討論思想，是一道綜合題．