Question

3．設公差為d（d≠0）的等差數(shù)列{a_n}與公比為q（q＞0）的等比數(shù)列{b_n}有如下關系：a₁=b₁=2，a₃=b₃，a_b3=5．
（Ⅰ）求{a_n}和{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）記A={a₁，a₂，a₃，…，a₂₀}，B={b₁，b₂，b₃，…，b₂₀}，C=A∪B，求集合C中的各元素之和．

Answer 1

分析 （I）利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式即可得出；
（Ⅱ）由a_n=n+1，${b_n}={2^{\frac{n+1}{2}}}$．可得數(shù)列{a_n}和{b_n}的相同項為：2，4，8，16．設等差數(shù)列{a_n}和等比數(shù)列{b_n}的前n項和分別為S_n，T_n．由C=A∪B，可得集合C中的各元素之和=S₂₀+T₂₀-（2+4+8+16）．

解答 解：（I）∵公差為d（d≠0）的等差數(shù)列{a_n}與公比為q（q＞0）的等比數(shù)列{b_n}滿足：a₁=b₁=2，a₃=b₃，a_b3=5．
∴$\left\{\begin{array}{l}2+2d=2{q^2}\\ 2+（{b_3}-1）d=5\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}1+d={q^2}\\ 2+（2{q^2}-1）=5\end{array}\right.$，
∴2d²+d-3=0得d=1或$d=-\frac{3}{2}$．
又q²=1+d＞0，
∴d=1⇒$q=\sqrt{2}$，
∴a_n=n+1，${b_n}={2^{\frac{n+1}{2}}}$．
（Ⅱ）由a_n=n+1，${b_n}={2^{\frac{n+1}{2}}}$．
可得數(shù)列{a_n}和{b_n}的相同項為：2，4，8，16．
設等差數(shù)列{a_n}和等比數(shù)列{b_n}的前n項和分別為S_n，T_n．
∵C=A∪B，
∴集合C中的各元素之和=S₂₀+T₂₀-（2+4+8+16）
=$\frac{20（2+21）}{2}$+$\frac{2[（\sqrt{2}）^{20}-1]}{\sqrt{2}-1}$-30
=230+$2（\sqrt{2}+1）$（2¹⁰-1）-30
=200+2046$（\sqrt{2}+1）$
=2046$\sqrt{2}$+2246．

點評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及前n項和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．