Question

3．如圖，△ABC內(nèi)接于圓O，AB是圓的直徑，四邊形DCBE為平行四邊形，DC⊥平面ABC，AB=2，BC=$\sqrt{3}$，BE=1．
（1）求三棱錐C-ABE的體積；
（2）已知M是線段CD的中點(diǎn)，求證：MO∥平面ADE．

Answer 1

分析 （1）利用等積法，求出三棱錐C-ABE的體積為V_{三棱錐C-ABE}=V_{三棱錐E-ABC}；
（2）取AE的中點(diǎn)N，連接DN、ON，證明四邊形OMDN是平行四邊形，得出OM∥DN，從而證明OM∥平面ADE．

解答 解：（1）三棱錐C-ABE的體積為
V_{三棱錐C-ABE}=V_{三棱錐E-ABC}
=$\frac{1}{3}$×S_△ABC•BE
=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$•AC•BC•BE
=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×$\sqrt{{2}^{2}{-（\sqrt{3}）}^{2}}$×$\sqrt{3}$×1
=$\frac{\sqrt{3}}{6}$；
（2）證明：如圖所示，

取AE的中點(diǎn)N，連接DN、ON，
則ON∥BE，ON=$\frac{1}{2}$BE=$\frac{1}{2}$，
又DM∥BE，DM=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}$，
∴ON∥DM，且ON=DM，
∴四邊形OMDN是平行四邊形，
OM∥DN，
又OM?平面ADE，DN?平面ADE，
∴OM∥平面ADE．

點(diǎn)評 本題考查了空間幾何體的體積的計(jì)算問題，也考查了線面平行的判斷問題，是基礎(chǔ)題目．