Question

17．如圖，在三棱錐A-BCD中，O、E分別為BD、BC中點(diǎn)，CA=CB=CD=BD=4，AB=AD=2$\sqrt{2}$
（1）求證：AO⊥面BCD
（2）求異面直線(xiàn)AB與CD所成角的余弦值
（3）求點(diǎn)E到平面ACD的距離．

Answer 1

分析 （1）要證AO⊥平面BCD，只需證AO⊥BD，AO⊥CO即可，結(jié)合已知條件，根據(jù)勾股定理即可得到答案；
（2）取AC中點(diǎn)F，連接OF、OE、EF，由中位線(xiàn)定理可得EF∥AB，OE∥CD，則∠OEF（或其補(bǔ)角）是異面直線(xiàn)AB與CD所成角，然后在Rt△AOC中求解；
（3）以O(shè)為原點(diǎn)，以O(shè)B，OC，OA方向?yàn)閤，y，z軸正方向，建立空間坐標(biāo)系，求出平面ACD的法向量的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)E到平面ACD的距離h=$\frac{|\overrightarrow{EC}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}$，可求出點(diǎn)E到平面ACD的距離．

解答 （1）證明：△ABD中，∵AB=AD=$\sqrt{2}$，O是BD中點(diǎn)，BD=2，
∴AO⊥BD且AO=$\sqrt{A{B}^{2}-B{O}^{2}}$=1．
在△BCD中，連接OC，
∵BC=DC=2，
∴CO⊥BD且CO=$\sqrt{B{C}^{2}-B{O}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
在△AOC中，AO=1，CO=$\sqrt{3}$，AC=2，
∴AO²+CO²=AC²，故AO⊥CO．
∴AO⊥平面BCD；
（2）解：取AC中點(diǎn)F，連接OF、OE、EF，
△ABC中，E、F分別為BC、AC中點(diǎn)，
∴EF∥AB，且EF=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
在△BCD中，O、E分別為BD、BC的中點(diǎn)，
∴OE∥CD且OE=$\frac{1}{2}$CD=1．
∴異面直線(xiàn)AB與CD所成角等于∠OEF（或其補(bǔ)角）．
又OF是Rt△AOC斜邊上的中線(xiàn)，
∴OF=$\frac{1}{2}$AC=1，
∴等腰△OEF中cos∠OEF=$\frac{\frac{1}{2}EF}{OE}=\frac{\sqrt{2}}{4}$；
（3）解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)平面ACD的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AD}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x+z=0}\\{\sqrt{3}y-z=0}\end{array}\right.$．
令y=1，得$\overrightarrow{n}=（-\sqrt{3}，1，\sqrt{3}）$．
又$\overrightarrow{EC}=（-\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}，0）$，
∴點(diǎn)E到平面ACD的距離h=$\frac{|\overrightarrow{EC}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}=\frac{\sqrt{21}}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線(xiàn)與平面垂直的判定、異面直線(xiàn)所成角的求法及空間點(diǎn)到平面的距離，考查空間想象能力和思維能力，訓(xùn)練了利用空間向量求點(diǎn)到平面的距離，是中檔題．