Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=-

n2

2

+

k

2

n，且S₁₄=S₁₁，n∈N^*．
（Ⅰ）求k的值及數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）求數(shù)列{|a_n|}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由已知得-

196

2

+7k=-

121

2

+

11

2

k，解得k=25．從而Sn=-

n2

2

+

25

2

n，由此求出a_n=13-n．
（Ⅱ）由a_n=13-n≥0，得n≤13，從而n≤13時，T_n=S_n；當(dāng)n＞13時，T_n=-S_n+2S₁₃，由此能求出數(shù)列{|a_n|}的前n項和T_n．

解答： 解：（Ⅰ）∵數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=-

n2

2

+

k

2

n，且S₁₄=S₁₁，
∴-

196

2

+7k=-

121

2

+

11

2

k，
解得k=25．
∴Sn=-

n2

2

+

25

2

n，
∴a1=S1=-

1

2

+

25

2

=12，
n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=（-

n2

2

+

25

2

n）-[-

(n-1)2

2

-

25

2

(n-1)]=-n+13．
n=1時也成立，
∴a_n=13-n．
（Ⅱ）∵a_n=13-n≥0，得n≤13，
∴n≤13時，數(shù)列{|a_n|}的前n項和
T_n=S_n=-

n2

2

+

25

2

n；
當(dāng)n＞13時，T_n=-S_n+2S₁₃=

n2

2

-

25

2

n+494．
∴T_n=

- n2 2 + 25 2 n，n≤13 n2 2 - 25 2 n+494，n＞13

．

點評：本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查數(shù)列的前n項和的求法，解題時要認真審題，注意分類討論思想的合理運用．