Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=3a_n+1．
（1）證明{a_n+

1

2

}是等比數(shù)列，并求{a_n}的通項公式；
（2）求數(shù)列{a_n}的前n項和S_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等比關(guān)系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）在a_n+1=3a_n+1中兩邊加

1

2

，易知數(shù)列{an+

1

2

}是以3為公比，以a1+

1

2

=

3

2

為首項的等比數(shù)列，從而可求{a_n}的通項公式；
（2）由（1）知a_n=

3n-1

2

，利用分組求和法即可求得數(shù)列{a_n}的前n項和S_n．

解答： 解：（1）在a_n+1=3a_n+1中兩邊加

1

2

：an+

1

2

=3(an-1+

1

2

)，…2分
可見數(shù)列{an+

1

2

}是以3為公比，以a1+

1

2

=

3

2

為首項的等比數(shù)列．…4分
故an=

3

2

×3n-1-

1

2

=

3n-1

2

．…6分
（2）S_n=a₁+a₂+…+a_n
=

31-1

2

+

32-1

2

+…+

3n-1

2

=

1

2

（3+3²+…+3ⁿ）-

1

2

•n
=

1

2

•

3(1-3n)

1-3

-

n

2

=

3n+1-2n-3

4

…12分

點評：本題考查數(shù)列的求和，考查等比關(guān)系的確定，求得a_n=

3n-1

2

是關(guān)鍵，屬于中檔題．