Question

8．等邊三角形ABC的邊長為6，在AC，BC邊上各取一點E，F(xiàn)，連結(jié)AF，BE相交于點P．
（1）若AE=CF．
①求證：AF=BE，并求∠APB的度數(shù)．
②若AE=2，試求AP•AF的值．
（2）若AF=BE，當點E從點A運動到點C時，直接寫出點P經(jīng)過的路徑長．

Answer 1

分析 （1）①證明△ABE≌△CAF，借用外角即可以得到答案；②利用勾股定理求得AF的長度，再用平行線分線段成比例定理或者三角形相似定理即可以得到答案．
（2）當點F靠近點C的時候點P的路徑是一段弧，由題目不難看出當E為AC的中點的時候，點P經(jīng)過弧AB的中點，此時△ABP為等腰三角形，繼而求得半徑和對應(yīng)的圓心角的度數(shù)，求得答案．點F靠近點B時，點P的路徑就是過點B向AC做的垂線段的長度．

解答 （1）①證明：∵△ABC為等邊三角形，
∴AB=AC，∠C=∠CAB=60°，
又∵AE=CF，
在△ABE和△CAF中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAE=∠ACF}\\{AE=CF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CAF（SAS），
∴AF=BE，∠ABE=∠CAF．
又∵∠APE=∠BPF=∠ABP+∠BAP，
∴∠APE=∠BAP+∠CAF=60°．
∴∠APB=180°-∠APE=120°．
②∵∠C=∠APE=60°，∠PAE=∠CAF，∴△APE∽△ACF，
∴$\frac{AP}{AC}=\frac{AE}{AF}$，即$\frac{AP}{6}=\frac{2}{AF}$，∴AP•AF=12
（2）若AF=BE，有AE=BF或AE=CF兩種情況．
①當AE=CF時，點P的路徑是一段弧，由題目不難看出當E為AC的中點的時候，點P經(jīng)過弧AB的中點，此時△ABP為等腰三角形，且∠ABP=∠BAP=30°，
∴∠AOB=120°，
又∵AB=6，
∴OA=2$\sqrt{3}$，
點P的路徑是l=$\frac{nπr}{180}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}π$．
②當AE=BF時，點P的路徑就是過點C向AB作的垂線段的長度．
∵等邊三角形ABC的邊長為6，∴點P的路徑為：$\sqrt{36-9}$=3$\sqrt{3}$．
∴點P經(jīng)過的路徑長為$\frac{4\sqrt{3}}{3}π$或3$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了等邊三角形性質(zhì)的綜合應(yīng)用以及相似三角形的判定及性質(zhì)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是注意轉(zhuǎn)化思想的運用．