Question

(拓展深化)如圖，M為線段AB的中點(diǎn)，AE與BD交于點(diǎn)C，∠DME＝∠A＝∠B＝α.且DM交AC于F，ME交BC于G，

(1)寫出圖中三對(duì)相似三角形，并證明其中的一對(duì)；
(2)連接FG，如果α＝45°，AB＝4，AF＝3，求FG的長(zhǎng)．

Answer 1

(1)△AMF∽△BGM，△DMG∽△DBM，△EMF∽EAM，證明見(jiàn)解析   (2)

解　(1)△AMF∽△BGM，△DMG∽△DBM，△EMF∽EAM.
以下證明：△AMF∽△BGM.
∵∠AFM＝∠DME＋∠E＝∠A＋∠E
＝∠BMG，∠A＝∠B，
∴△AMF∽△BGM.
(2)當(dāng)α＝45°時(shí)，
可得AC⊥BC且AC＝BC.
∵M(jìn)為AB的中點(diǎn)，
∴AM＝BM＝2.
又∵△AMF∽△BGM，
∴＝
∴BG＝＝＝.
又AC＝BC＝4×sin 45°＝4，
∴CG＝4－＝.
∵CF＝4－3＝1，∴FG＝＝＝.