Question

18．已知a，b∈（0，+∞），且2^a4^b=2．
（Ⅰ）求$\frac{2}{a}+\frac{1}$的最小值；
（Ⅱ）若存在a，b∈（0，+∞），使得不等式$|{x-1}|+|{2x-3}|≥\frac{2}{a}+\frac{1}$成立，求實數(shù)x的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由2^a4^b=2可知a+2b=1，利用“1”的代換，即可求$\frac{2}{a}+\frac{1}$的最小值；
（Ⅱ）分類討論，解不等式，即可求實數(shù)x的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）由2^a4^b=2可知a+2b=1，又因為$\frac{2}{a}+\frac{1}=（{\frac{2}{a}+\frac{1}}）（{a+2b}）=\frac{4b}{a}+\frac{a}+4$，
由a，b∈（0，+∞）可知$\frac{4b}{a}+\frac{a}+4≥2\sqrt{\frac{4b}{a}•\frac{a}}+4=8$，
當且僅當a=2b時取等，所以$\frac{2}{a}+\frac{1}$的最小值為8．…（5分）
（Ⅱ）由題意可知即解不等式|x-1|+|2x-3|≥8，
①$\left\{\begin{array}{l}x≤1\\ 1-x+（{3-2x}）≥8\end{array}\right.$，∴$x≤-\frac{4}{3}$．
②$\left\{\begin{array}{l}1＜x＜\frac{3}{2}\\ x-1+3-2x≥8\end{array}\right.$，∴x∈∅，
③$\left\{\begin{array}{l}x≥\frac{3}{2}\\ x-1+2x-3≥8\end{array}\right.$，∴x≥4．
綜上，$x∈（{-∞，-\frac{4}{3}}]∪[{4，+∞}）$．…（10分）

點評 本題考查基本不等式的運用，考查分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題．