Question

9．已知函數(shù)$f（x）=ln（{x-2}）-\frac{x^2}{2a}$（a為常數(shù)，a≠0）．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f（x）在點(diǎn)（3，f（3））的切線方程
（Ⅱ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）若f（x）在x₀處取得極值，且${x_0}∉[{e+2，{e^3}+2}]$，而f（x）≥0在[e+2，e³+2]上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算f（3），f′（3）的值，求出切線方程即可；
（Ⅱ）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知x₀處有極值，求出${x_0}=1+\sqrt{a+1}$，得到f（x）在[e+2，e³+2]上單調(diào)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到關(guān)于a的不等式組，解出即可．

解答 解：$f'（x）=\frac{1}{x-2}-\frac{x}{a}$（x＞2）
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，$f'（x）=\frac{1}{x-2}x$，f'（3）=-2.$f（3）=-\frac{9}{2}$，
所以，函數(shù)f（x）在點(diǎn)（3，f（3））處的切線方程為：
$y+\frac{9}{2}=-2（{x-3}）$，即4x+2y-3=0．…（3分）
（Ⅱ）$f'（x）=\frac{1}{x-2}-\frac{x}{a}=-\frac{{{x^2}-2x-a}}{{a（{x-2}）}}$=$-\frac{1}{{a（{x-2}）}}[{{{（{x-1}）}^2}-（{a+1}）}]$，
因?yàn)閤＞2，所以x-2＞0，
①當(dāng)a＜0時(shí)，（x-1）²-（a+1）=x（x-2）-a＞0在x＞2上成立，
所以f'（x）當(dāng)x＞2恒大于0，
故f（x）在（2，+∞）上是增函數(shù)．…（5分）
②當(dāng)a＞0時(shí)，$f'（x）=-\frac{1}{{a（{x-2}）}}（{x-1+\sqrt{a+1}}）（{x-1-\sqrt{a+1}}）$，
因?yàn)閤＞2，
所以$x-1+\sqrt{a+1}＞0$，a（x-2）＞0，
當(dāng)$x≥1+\sqrt{a+1}$時(shí)，f'（x）≤0，f（x）為減函數(shù)；
當(dāng)$2≤x≤1+\sqrt{a+1}$時(shí)，f'（x）≥0，f（x）為增函數(shù)．…（7分）
綜上：當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）在（2，+∞）上為增函數(shù)；
當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）在$（{2，1+\sqrt{a+1}}）$上為增函數(shù)，在$（{1+\sqrt{a+1}，+∞}）$上為減函數(shù)．…（8分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知x₀處有極值，故a＞0，且${x_0}=1+\sqrt{a+1}$，
因?yàn)?{x_0}∉[{e+2，{e^3}+2}]$且e+2＞2，
所以f（x）在[e+2，e³+2]上單調(diào)．…（10分）
當(dāng)[e+2，e³+2]為增區(qū)間時(shí)，f（x）≥0恒成立，則有$\left\{\begin{array}{l}{e^3}+2＜1+\sqrt{a+1}\\ f（{e+2}）≥0\end{array}\right.⇒a＞{e^6}+2{e^3}$．
當(dāng)[e+2，e³+2]為減區(qū)間時(shí)，f（x）≥0恒成立，則有$\left\{\begin{array}{l}e+2＞1+\sqrt{a+1}\\ f（{{e^3}+2}）≥0\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}a＜{e^2}+2e\\ a≥\frac{{{e^6}+4{e^3}+4}}{6}\end{array}\right.$解集為空集．
綜上：當(dāng)a＞e⁶+2e³時(shí)滿足條件．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線方程問題，考查函數(shù)的單調(diào)性問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，是一道綜合題．