Question

13．已知冪函數(shù)f（x）的圖象過(guò)點(diǎn)（$\sqrt{2}$，2），冪函數(shù)g（x）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，$\frac{1}{4}$）
（1）求f（x），g（x）的解析式；
（2）當(dāng)x為何值時(shí)，①f（x）＞g（x）；②f（x）=g（x）；③f（x）＜g（x）？

Answer 1

分析 （1）設(shè)出冪函數(shù)的解析式，利用待定系數(shù)法求出f（x）、g（x）的解析式；
（2）令f（x）＞g（x）、f（x）=g（x）與f（x）＜g（x），分別求出x的取值范圍．

解答 解：（1）設(shè)冪函數(shù)f（x）=x^α，
其圖象過(guò)點(diǎn)（$\sqrt{2}$，2），
即${（\sqrt{2}）}^{α}$=2，解得α=2，
∴f（x）=x²；
同理，冪函數(shù)g（x）的圖象過(guò)點(diǎn)（2，$\frac{1}{4}$），
∴g（x）=x^-2，（x≠0）；
（2）①當(dāng)f（x）＞g（x）時(shí)，x²＞x^-2，
即x⁴＞1，解得x＞1或x＜-1，
∴當(dāng)x＜-1或x＞1時(shí)，f（x）＞g（x）；
②當(dāng)f（x）=g（x）時(shí)，x²=x^-2，解得x=±1，
∴當(dāng)x=±1時(shí)，f（x）=g（x）；
③當(dāng)f（x）＜g（x）時(shí)，x²＜x^-2，解得-1＜x＜1，且x≠0；
∴當(dāng)-1＜x＜1且x≠0時(shí)，f（x）＜g（x）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了不等式的解法與應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目．