Question

設(shè)A={x∈R|ax²+2x+1=0，a∈R}．
（1）當(dāng)A中元素個(gè)數(shù)為1時(shí)，求a和A；
（2）當(dāng)A中元素個(gè)數(shù)至少為1時(shí)，求a的取值范圍；
（3）求A中各元素之和．

Answer 1

考點(diǎn)：元素與集合關(guān)系的判斷

專題：集合

分析：（1）a=0時(shí)，2x+1=0，滿足元素個(gè)數(shù)為1，且A={-

1

2

}；當(dāng)a≠0時(shí)，要使A中元素個(gè)數(shù)為1，則：△=4-4a=0，求出a帶入方程即可求得A；
（2）a=0時(shí)，A中元素個(gè)數(shù)為1符合條件；a≠0時(shí)，要使A中元素個(gè)數(shù)至少為1，則△=4-4a≥0，解出該不等式并合并a=0即得a的取值范圍；
（3）討論a=0，和a≠0兩種情況，a≠0時(shí)，再討論△＜0，△=0，△＞0，這樣求出每種情況的元素之和即可．

解答： 解：（1）當(dāng)A中元素個(gè)數(shù)為1時(shí)，包括兩種情況，分類討論如下：
當(dāng)a=0時(shí)，有2x+1=0，解得x=-

1

2

，此時(shí)A={-

1

2

}；
當(dāng)a≠0時(shí)，有△=4-4a=0，得a=1，代入解得x=-1，此時(shí)A={-1}；
綜上可得a=0，A={-

1

2

}或a=1，A={-1}．
（2）當(dāng)A中元素個(gè)數(shù)至少為1時(shí)有a=0或a≠0，△=4-4a≥0，解得a≤1；
即a的取值范圍是（-∞，1]．
（3）當(dāng)a≠0，且△=4-4a＜0，即a＞1時(shí)，A=∅，無元素；
當(dāng)a=1時(shí)，元素之和為-1；
當(dāng)a≠0，且△=4-4a＞0，即a＜1，且a≠0時(shí)，元素之和為-

2

a

；
當(dāng)a=0時(shí)，元素之和為-

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：考查一元二次方程的解的情況和判別式△的關(guān)系，以及描述法表示集合，韋達(dá)定理，并且不要漏了a=0的情況．