Question

已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ），（ω＞0，A＞0，φ∈（0，

π

2

））的部分圖象如圖所示，其中點P是圖象的一個最高點．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）已知α∈（π，

3π

2

），且f（

α

2

-

5π

12

）=

12

13

，求f（

α

2

）．

Answer 1

考點：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）由函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）的圖象易知A=2，T=π，從而可求得ω=2；由ω•

π

12

+φ=2kπ+

π

2

，k∈Z，及φ∈（0，

π

2

）可求得φ=

π

3

，于是可得函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）化簡f（

α

2

-

5π

12

）=-cosα，依題意知cosα=-

6

13

，α∈（π，

3π

2

），易求sinα=-

133

13

，從而可求得f（

α

2

）=2sin（2×

α

2

+

π

3

）的值．

解答： 解：（Ⅰ）由圖知，A=2，T=4[

π

12

-（-

π

6

）]=π，
由

2π

ω

=π，得ω=2；
又ω•

π

12

+φ=2kπ+

π

2

，k∈Z，及φ∈（0，

π

2

）得φ=

π

3

，
∴f（x）=2sin（2x+

π

3

）；
（Ⅱ）∵f（

α

2

-

5π

12

）=2sin[2（

α

2

-

5π

12

）+

π

3

]=2sin（α-

π

2

）=-2cosα=

12

13

，
∴cosα=-

6

13

，又由α∈（π，

3π

2

）知，sinα＜0，
∴sinα=-

1-cos2α

=-

1-(- 6 13 )2

=-

133

13

，
∴f（

α

2

）=2sin（2×

α

2

+

π

3

）=2（sinαcos

π

3

+cosαsin

π

3

）
=2（-

133

13

×

1

2

-

6

13

×

3

2

）
=-

133 +6 3

13

．

點評：本題考查由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，考查誘導(dǎo)公式與兩角和的余弦的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想與運算求解能力，屬于中檔題．