Question

設(shè)直線L₁的傾斜角為α，α∈（0，

π

2

），L₁繞其上一點(diǎn)P沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)α角得到直線L₂，L₂的縱截距為-2，L₂繞P點(diǎn)沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)

π

2

-α角得到直線L₃：x+2y-1=0，則L₁的方程為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：兩直線的夾角與到角問題

專題：直線與圓

分析：由題意可得直線L₁和直線L₃的夾角等于

π

2

，求得直線L₁的斜率為2，根據(jù)直線L₂的傾斜角為2α，求得直線L₂ 的斜率，從而求得直線L₂ 的方程，根據(jù)直線L₂和直線L₃的方程求得P的坐標(biāo)，用點(diǎn)斜式求得L₁的方程．

解答： 解：由題意可得直線L₁和直線L₃的夾角等于

π

2

，如圖所示：
∴直線直線L₁的斜率為2，即tanα=2．
根據(jù)圖形，利用三角形的外角等于不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，可得直線L₂的傾斜角為2α，
∴直線L₂ 的斜率為tan2α=

2tanα

1-tan2α

=

4

3

，
∵直線L₂ 的縱截距為-2，∴直線L₂ 的方程為y=

4

3

x-2．
由

y= 4 3 x-2 x+2y-1=0

，求得點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-3，2），
∴直線L₁的方程為y-2=2（x+3），即2x-y+8=0，
故答案為：2x-y+8=0．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩條直線的位置關(guān)系，兩條直線的夾角公式，判斷直線L₁和直線L₃的夾角等于

π

2

、直線L₂的傾斜角為2α，是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．