Question

10．在體積一定的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是棱CC₁的中點(diǎn)，F(xiàn)是側(cè)面BCC₁B₁內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且A₁F∥平面D₁AE，記A₁F與平面BCC₁B₁所成的角為θ，下列說(shuō)法中正確的是①②④．
①點(diǎn)F的軌跡是一條線段；
②三棱錐F-AD₁E的體積為定值；
③A₁F與D₁E不可能平行；
④A₁F與CC₁是異面直線；
⑤tanθ的最大值為3$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 找出F所在平面上的軌跡，然后判斷①的正誤；利用體積是否變化判斷②的正誤；找出F的特殊位置判斷④大致為；求出tanθ的最大值，判斷⑤的正誤；

解答 解：對(duì)于①，取BC 的中點(diǎn)G，BB₁，B₁C₁的中點(diǎn)NM，連結(jié)MN，EG，則F在MN上，滿(mǎn)足F是側(cè)面BCC₁B₁內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且A₁F∥平面D₁AE，
所以①正確；
對(duì)于②，因?yàn)镸N∥EG，則F到平面AD₁E的距離是定值，三棱錐F-AD₁E的體積為定值，所以②正確；
對(duì)于③，當(dāng)F在N時(shí)，A₁F與D₁E平行，所以③不正確；
對(duì)于④，A₁F與CC₁是異面直線；滿(mǎn)足異面直線的定義，所以④正確；
對(duì)于⑤，A₁F與平面BCC₁B₁所成的角為θ，tanθ=$\frac{AB}{\frac{1}{4}×\sqrt{2}AB}$=2$\sqrt{2}$，所以⑤不正確；
故答案為：①②④．

點(diǎn)評(píng) 本題考查棱柱的幾何特征，直線與平面所成角，幾何體的體積的求法，直線與平面平行的判斷，考查邏輯推理以及計(jì)算能力．