Question

6．已知數(shù)列{a_n}中，$a_1^{\;}=\frac{1}{4}$，其前n項(xiàng)的和為S_n，且滿足a_n=$\frac{2{{S}_{n}}^{2}}{{2S}_{n}-1}$（n≥1）．
（Ⅰ） 求證：數(shù)列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是等差數(shù)列；
（Ⅱ） 證明：S₁+$\frac{1}{2}$S₂+$\frac{1}{3}$S₃+…+$\frac{1}{n}$S_n＜$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當(dāng)n≥2時(shí)，${S_n}-{S_{n-1}}=\frac{2S_n^2}{{2{S_n}-1}}$，變形為$\frac{1}{S_n}-\frac{1}{{{S_{n-1}}}}=2$，即可證明；
（Ⅱ）由（1）可知，$\frac{1}{{S}_{n}}$=4+2（n-1）=2n+2，${S_n}=\frac{1}{2（n+1）}$，可得$\frac{1}{n}{S}_{n}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$．利用“裂項(xiàng)求和”與“放縮法”即可證明．

解答 證明：（Ⅰ）當(dāng)n≥2時(shí)，${S_n}-{S_{n-1}}=\frac{2S_n^2}{{2{S_n}-1}}$，
化為S_n-1-S_n=2S_nS_n-1，
∴$\frac{1}{S_n}-\frac{1}{{{S_{n-1}}}}=2$，
從而$\left\{{\frac{1}{S_n}}\right\}$構(gòu)成以4為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列．
（Ⅱ）由（1）可知，$\frac{1}{{S}_{n}}$=4+2（n-1）=2n+2，
∴${S_n}=\frac{1}{2（n+1）}$，
∴$\frac{1}{n}{S}_{n}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$．
∴S₁+$\frac{1}{2}$S₂+$\frac{1}{3}$S₃+…+$\frac{1}{n}$S_n=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）]$=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{n+1}）$＜$\frac{1}{2}$．
∴S₁+$\frac{1}{2}$S₂+$\frac{1}{3}$S₃+…+$\frac{1}{n}$S_n＜$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了“裂項(xiàng)求和”、“放縮法”、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了變形能力、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．