Question

在數(shù)列{a_n}中，a₁=

1

2

，a_n=1-

1

an-1

 （a≥2，n∈N⁺）．
（1）求證：a_n+3=a_n；
（2）求a₂₀₁₀．

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式

專題：點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）直接利用數(shù)列遞推式循環(huán)代入可證得a_n+3=a_n；
（2）由已知的首項和數(shù)列遞推式求得a₂，a₃的值，直接由數(shù)列的周期性求得a₂₀₁₀的值．

解答： （1）證明：∵a_n=1-

1

an-1

，
∴a_n+3=1-

1

an+2

=

an+2-1

an+2

=

1- 1 an+1 -1

1- 1 an+1

=

- 1 an+1

an+1-1 an+1

=-

1

an+1-1

=-

1

1- 1 an -1

=an；
（2）解：∵a₁=

1

2

，a_n=1-

1

an-1

，
∴a2=1-

1

1 2

=-1，
a3=1-

1

a2

=1-

1

-1

=2，
又a_n+3=a_n，
∴a₂₀₁₀=a₃=2．

點評：本題考查了數(shù)列遞推式，考查了數(shù)列的函數(shù)特性，是中檔題．