Question

已知函數(shù)f（x）=xlnx+（a-1）x（a∈R）．
（1）當(dāng)a=1時，求曲線y=f（x）在x=1處的切線方程；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[

1

e

，e]上的最小值；
（3）若關(guān)于x的方程f（x）=2x³-3x²在區(qū)間[

1

2

，2]上有兩個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，確定切線的斜率，求得切點坐標(biāo)，進(jìn)而可求切線方程；
（2）求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)在（0，e^-a）上單調(diào)遞減，在（e^-a，+∞）上單調(diào)遞增，分類討論，即可求最值；
（3）問題等價于a=2x²-3x+1-lnx在區(qū)間[

1

2

，2]上有兩個不相等的實數(shù)根，構(gòu)造函數(shù)，確定單調(diào)性，求出函數(shù)值，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）當(dāng)a=1時，f（x）=xlnx，則求導(dǎo)函數(shù)，可得f′（x）=lnx+1．
x=1時，f′（1）=1，f（1）=0，
∴曲線y=xlnx在點x=1處的切線方程是y=x-1，即x-y-1=0
（2）f′（x）=lnx+a=0，可得x=e^-a，則函數(shù)在（0，e^-a）上單調(diào)遞減，在（e^-a，+∞）上單調(diào)遞增，
若e＜e^-a，則函數(shù)f（x）在區(qū)間[

1

e

，e]上的最小值為f（e）=ae；
若

1

e

≤e^-a≤e，則函數(shù)f（x）在區(qū)間[

1

e

，e]上的最小值為f（e^-a）=-e^-a；
若

1

e

＞e^-a，則函數(shù)f（x）在區(qū)間[

1

e

，e]上的最小值為f（

1

e

）=

a

e

；
（3）f（x）=2x³-3x²等價于xlnx+（a-1）x=2x³-3x²，即lnx+（a-1）=2x²-3x，
∴a=2x²-3x+1-lnx在區(qū)間[

1

2

，2]上有兩個不相等的實數(shù)根，
令g（x）=2x²-3x+1-lnx，則g′（x）=4x-3-

1

x

=

(4x+1)(x-1)

x

∵x∈[

1

2

，2]，
∴函數(shù)在[

1

2

，1]上單調(diào)遞減，在[1，2]上單調(diào)遞增，
∵g（

1

2

）=ln2，g（1）=0，g（2）=3-ln2，
∴a=2x²-3x+1-lnx在區(qū)間[

1

2

，2]上有兩個不相等的實數(shù)根，應(yīng)滿足0＜a≤ln2．

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，函數(shù)的零點與方程的根的關(guān)系，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，把問題正確轉(zhuǎn)化和熟練應(yīng)用導(dǎo)數(shù)得出函數(shù)的單調(diào)性是解決問題的關(guān)鍵．