Question

19．在三棱錐A-BCD中，AB=AD=CB=CD，∠BAD=∠BCD=90°，且面ABD⊥面BCD，給出下列結(jié)論：
①AC⊥BD；
②△ACD是等邊三角形；
③AB與面BCD成60°角；
④AB與CD成60°角．
其中正確的是①②．

Answer 1

分析 如圖所示，取BD的中點(diǎn)O，連接AO，CO．不妨設(shè)AD=2．
①取BD的中點(diǎn)，連接OA，OC．利用等腰三角形的性質(zhì)可得：AO⊥BD，CO⊥BD，再利用線面垂直的判定與性質(zhì)定理即可判斷出結(jié)論；
②由已知可得OA=OC═OB=OD=$\sqrt{2}$，AO⊥平面BCD，利用勾股定理可得AC=2，即可判斷出正誤．
③由②可得：AO⊥平面BCD，因此∠ABO=45°是AB與平面BCD所成的角，即可判斷出正誤；
④分別取AD，BC的中點(diǎn)E，F(xiàn)，連接OE，OF，EF．可得OE∥AB，OF∥CD，∠EOF或其補(bǔ)角是異面直線AB與CD所成的角，OE=OF=1，利用余弦定理、勾股定理即可得出．

解答 解：如圖所示，取BD的中點(diǎn)O，連接AO，CO．不妨設(shè)AD=2．
①取BD的中點(diǎn)，連接OA，OC．∵AB=AD=CB=CD，∴AO⊥BD，CO⊥BD，又OA∩OC=O，∴BD⊥平面OAC，AC?平面OAC，∴AC⊥BD，正確；
②∵AB=AD=CB=CD，∠BAD=∠BCD=90°，∴OA=OC═OB=OD=$\sqrt{2}$，由①可得：AO⊥平面BCD，∴AO⊥OC，∴AC=2，
∴△ACD是等邊三角形，正確；
③由②可得：AO⊥平面BCD，∴∠ABO=45°，是AB與平面BCD所成的角，因此不正確；
④分別取AD，BC的中點(diǎn)E，F(xiàn)，連接OE，OF，EF．則OE∥AB，OF∥CD，∴∠EOF或其補(bǔ)角是異面直線AB與CD所成的角，OE=OF=1．
在平面ABD內(nèi)過點(diǎn)E作EM⊥BD，垂足為M，連接FM，則EM⊥平面BCD，∴EM⊥FM，F(xiàn)M²=${1}^{2}+（\frac{1}{2}）^{2}-2×1×\frac{1}{2}$×cos135°=$\frac{5+2\sqrt{2}}{4}$．
EF²=EM²+FM²=$（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}$+$\frac{5+2\sqrt{2}}{4}$=$\frac{7+2\sqrt{2}}{4}$．∴cos∠EOF=$\frac{1+1-\frac{5+2\sqrt{2}}{4}}{2×1×1}$=$\frac{3-2\sqrt{2}}{8}$，因此∠EOF不是60^°或120^°，因此不正確．
綜上可得：正確的是①②．
故答案為：①②．

點(diǎn)評 本題考查了線面面面垂直的判定與性質(zhì)定理、等邊三角形與等腰三角形的性質(zhì)、異面直線所成的角、余弦定理勾股定理，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．