Question

2．已知函數(shù)$f（x）=\sqrt{3}sinxcosx+co{s^2}x+1$．
（1）求f（x）的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，若f（C）=2，a+b=4，且△ABC的面積為$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，求△ABC外接圓的半徑．

Answer 1

分析 （1）利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡(jiǎn)可求函數(shù)解析式f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{3}{2}$，利用周期公式可求最小正周期，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性可求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間．
（2）由已知及（1）可得$sin（{2C+\frac{π}{6}}）=\frac{1}{2}$，結(jié)合范圍可求$\frac{π}{6}＜2C+\frac{π}{6}＜\frac{13π}{6}$，進(jìn)而可求C的值，利用三角形面積公式可求ab，進(jìn)而利用余弦定理，正弦定理可求三角形外接圓的半徑．

解答 解：（1）函數(shù)$f（x）=\sqrt{3}sinxcosx+co{s^2}x+1=\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x+\frac{1}{2}cos2x+\frac{3}{2}=sin（{2x+\frac{π}{6}}）+\frac{3}{2}$，
故最小正周期$T=\frac{2π}{2}=π$；
令$\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{3π}{2}+2kπ$，解得：$\frac{π}{6}+kπ≤x≤\frac{2π}{3}+kπ$，k∈Z．
故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為：[$\frac{π}{6}$+kπ，$\frac{2π}{3}$+kπ]，k∈Z．
（2）由f（C）=2，可得$sin（{2C+\frac{π}{6}}）=\frac{1}{2}$，
又0＜C＜π，
所以$\frac{π}{6}＜2C+\frac{π}{6}＜\frac{13π}{6}$，
所以$2C+\frac{π}{6}=\frac{5π}{6}$，從而$C=\frac{π}{3}$．
由S=$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{1}{2}$absin$\frac{π}{3}$，ab=$\frac{4}{3}$，
由余弦定理有：c²=（a+b）²-2ab-2abcosC=（a+b）²-3ab=12，
∴$c=2\sqrt{3}$，由正弦定理有：$R=\frac{1}{2}×\frac{c}{sinC}=2$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，周期公式，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，三角形面積公式，余弦定理，正弦定理的綜合應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．