Question

13．設(shè)拋物線(xiàn)C：y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，其準(zhǔn)線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)為Q，過(guò)Q點(diǎn)的直線(xiàn)1交拋物線(xiàn)于A，B兩點(diǎn)．
（1）若以AB為直徑的圓恰好過(guò)點(diǎn)F，求直線(xiàn)1的斜率；
（2）設(shè)直線(xiàn)AF，BF與拋物線(xiàn)C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為D，E，求證：|AB|=|DE|．

Answer 1

分析 （1）求出拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線(xiàn)方程，由點(diǎn)斜式寫(xiě)出直線(xiàn)l的方程，和拋物線(xiàn)方程聯(lián)立后化為關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)關(guān)系求出A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)的和與積，寫(xiě)出向量$\overrightarrow{FA}$，$\overrightarrow{FB}$的坐標(biāo)，由向量垂直的條件，展開(kāi)數(shù)量積后代入根與系數(shù)關(guān)系得答案；
（2）設(shè)直線(xiàn)l的方程為l：x=ky-$\frac{p}{2}$，和拋物線(xiàn)方程聯(lián)立后化為關(guān)于y的一元二次方程，寫(xiě)出根與系數(shù)關(guān)系，由兩點(diǎn)式求出斜率后作和化簡(jiǎn)，代入根與系數(shù)關(guān)系，由對(duì)稱(chēng)性即可得到答案．

解答 解：（1）拋物線(xiàn)C：y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F（$\frac{p}{2}$，0），
準(zhǔn)線(xiàn)方程為x=-$\frac{p}{2}$，即有Q（-$\frac{p}{2}$，0）
由題意可得l：y=k（x+$\frac{p}{2}$），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+\frac{p}{2}）}\\{{y}^{2}=2px}\end{array}\right.$，得k²x²+（k²-2）px+$\frac{{k}^{2}{p}^{2}}{4}$=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
x₁+x₂=-$\frac{（{k}^{2}-2）p}{{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{{p}^{2}}{4}$．
則$\overrightarrow{FA}$=（x₁-$\frac{p}{2}$，y₁），$\overrightarrow{FB}$=（x₂-$\frac{P}{2}$，y₂）．
以AB為直徑的圓恰好過(guò)點(diǎn)F，
可得$\overrightarrow{FA}$•$\overrightarrow{FB}$=（x₁-$\frac{P}{2}$）（x₂-$\frac{P}{2}$）+y₁y₂
=（1+k²）x₁x₂-$\frac{p}{2}$（1-k²）（x₁+x₂）+$\frac{{p}^{2}}{4}$（1+k²）=0，
即有 （1+k²）•$\frac{{p}^{2}}{4}$-$\frac{p}{2}$（1-k²）（-$\frac{（{k}^{2}-2）p}{{k}^{2}}$）+$\frac{{p}^{2}}{4}$（1+k²）=0，
化為k²（1+k²）+（1-k²）（k²-2）=0，
解得k=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（2）證明：設(shè)直線(xiàn)l：x=ky-$\frac{p}{2}$，
與拋物線(xiàn)聯(lián)立得y²-2pky+p²=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴y₁+y₂=2pk，y₁y₂=p²．
則k₁+k₂=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-\frac{p}{2}}$+$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-\frac{p}{2}}$
=$\frac{{y}_{1}}{k{y}_{1}-p}$+$\frac{{y}_{2}}{k{y}_{2}-p}$=$\frac{2k{y}_{1}{y}_{2}-p（{y}_{1}+{y}_{2}）}{（k{y}_{1}-p）（k{y}_{2}-p）}$
=$\frac{2k{p}^{2}-p•2pk}{（k{y}_{1}-p）（k{y}_{2}-p）}$=0，
可得直線(xiàn)AF，BF關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，
再由拋物線(xiàn)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，
可得|AB|=|DE|．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線(xiàn)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，考查了直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的關(guān)系，涉及直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的關(guān)系問(wèn)題，常利用一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系，采用設(shè)而不求的方法解決，此題屬中檔題．