Question

設(shè)函數(shù)f(x)=x2ex-1-

1

3

x3-x2(x∈R)．
（1）求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求y=f（x）在[-1，2]上的最小值；
（3）當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，用數(shù)學(xué)歸納法證明：?n∈N*，ex-1＞

xn

n!

．

Answer 1

（1）f'（x）=2xe^x-1+x²e^x-1-x²-2x=x（x+2）（e^x-1-1），
令f'（x）=0，可得x₁=-2，x₂=0，x₃=1．
當(dāng)x變化時(shí)，f'（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（-∞，-2）	-2	（-2，0）	0	（0，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	-	0	+	0	-	0	+
f（x）	↓	極小值	↑	極大值	↓	極小值	↑

∴函數(shù)y=f（x）的增區(qū)間為（-2，0）和（1，+∞），減區(qū)間為（-∞，-2）和（0，1）．
（2）當(dāng)x∈[-1，2]時(shí)，f(-1)=

1

e2

-

2

3

＜0，
f(2)=4(e-

5

3

)＞0，f(x)_極小值=f(1)=-

1

3

＞f(-1)，f(x)_極大值=f（0）=0．
所以f（x）在[-1，2]上的最小值為

1

e2

-

2

3

．
（3）設(shè)gn(x)=ex-1-

xn

n!

，當(dāng)n=1時(shí)，只需證明g₁（x）=e^x-1-x＞0，當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，g₁^′（x）=e^x-1-1＞0，
所以g₁（x）=e^x-1-x在（1，+∞）上是增函數(shù)，∴g₁（x）＞g₁（1）=e⁰-1=0，即e^x-1＞x；
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，假設(shè)n=k時(shí)不等式成立，即gk(x)=ex-1-

xk

k!

＞0，
當(dāng)n=k+1時(shí)，
因?yàn)?span dealflag="1" mathtag="math" >gk+1′(x)=ex-1-

(k+1)xk

(k+1)!

=ex-1-

xk

k!

＞0，
所以g_k+1（x）在（1，+∞）上也是增函數(shù)．
所以gk+1(x)＞gk+1(1)=e0-

1

(k+1)!

=1-

1

(k+1)!

＞0，
即當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式成立．
由歸納原理，知當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，?n∈N*，ex-1＞

xn

n!

．