Question

9．復(fù)數(shù)z₁=2sin$θ-\sqrt{3}i$，z₂=1+（2cosθ）i，i為虛數(shù)單位，θ∈[$\frac{π}{3}，\frac{π}{2}$]；
（1）若z₁•z₂是實(shí)數(shù)，求cos2θ的值；
（2）若復(fù)數(shù)z₁、z₂對(duì)應(yīng)的向量分別是$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow$，存在θ使等式（$λ\overrightarrow{a}-\overrightarrow$）•（$\overrightarrow{a}-λ\overrightarrow$）=0成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用復(fù)數(shù)的乘法化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，通過復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)求出θ，然后求解即可；
（2）寫出復(fù)數(shù)z₁，z₂對(duì)應(yīng)的向量，代入等式（$λ\overrightarrow{a}-\overrightarrow$）•（$\overrightarrow{a}-λ\overrightarrow$）=0，展開數(shù)量積即可求得實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

解答 解：復(fù)數(shù)z₁=2sin$θ-\sqrt{3}i$，z₂=1+（2cosθ）i，i為虛數(shù)單位，θ∈[$\frac{π}{3}，\frac{π}{2}$]．
（1）z₁•z₂=2sinθ+2$\sqrt{3}$cosθ+（4sinθcosθ-$\sqrt{3}$）i，
z₁•z₂為實(shí)數(shù)，可得4sinθcosθ-$\sqrt{3}$=0，sin2θ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
解得2θ=$\frac{2π}{3}$，
∴cos2θ=-$\frac{1}{2}$；
（2）復(fù)數(shù)z₁=2sinθ-$\sqrt{3}$i，z₂=1+（2cosθ）i，
復(fù)數(shù)z₁，z₂對(duì)應(yīng)的向量分別是$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$，
$\overrightarrow{a}$=（2sinθ，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow$=（1，2cosθ），
（$λ\overrightarrow{a}-\overrightarrow$）•（$\overrightarrow{a}-λ\overrightarrow$）=0，
∵${\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow}^{2}$=（2sinθ）²+（-$\sqrt{3}$）²+1+（2cosθ）²=8，
$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=（2sinθ，-$\sqrt{3}$）•（1，2cosθ）=2sinθ-2$\sqrt{3}$cosθ，
∴（$λ\overrightarrow{a}-\overrightarrow$）•（$\overrightarrow{a}-λ\overrightarrow$）=λ（${\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow}^{2}$）-（1+λ²）$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=8λ-（1+λ²）（2sinθ-2$\sqrt{3}$cosθ）=0，
化為sin（θ-$\frac{π}{3}$）=$\frac{2λ}{1+{λ}^{2}}$，
∵θ∈[$\frac{π}{3}，\frac{π}{2}$]，
∴（θ-$\frac{π}{3}$）∈[0，$\frac{π}{6}$]，∴sin（θ-$\frac{π}{3}$）∈[0，$\frac{1}{2}$]．
∴0≤$\frac{2λ}{1+{λ}^{2}}$≤$\frac{1}{2}$，解得λ≥2+$\sqrt{3}$或λ≤2-$\sqrt{3}$．
實(shí)數(shù)λ的取值范圍是（-∞，2-$\sqrt{3}$]∪[2+$\sqrt{3}$，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)的條件，訓(xùn)練了向量的數(shù)量積的應(yīng)用，是中檔題．