Question

已知函數(shù)f（x）=

2-lnx

x+1

，對函數(shù)f（x）定義域內(nèi)的任意x，都有xf（x）＜m恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（　�。�

• A、（1，+∞）
• B、（-∞，1）
• C、（6，+∞）
• D、不確定

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：把f（x）的解析式代入xf（x）＜m，分離變量m，構(gòu)造函數(shù)g(x)=

2x-xlnx

x+1

，求其導(dǎo)函數(shù)g′(x)=

1-x-lnx

(x+1)2

再令h（x）=1-x-lnx，由其導(dǎo)函數(shù)的符號分析得到g′（x）在定義域內(nèi)不同區(qū)間內(nèi)的符號，最后得到函數(shù)
g（x）的單調(diào)性，求出最值，則答案可求．

解答： 解：f（x）=

2-lnx

x+1

，由xf（x）＜m，得

2x-xlnx

x+1

＜m（x＞0），
令g(x)=

2x-xlnx

x+1

，則g′(x)=

1-x-lnx

(x+1)2

，
再令h（x）=1-x-lnx，則h′(x)=-1-

1

x

＜0，
故h（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)．
當(dāng)0＜x＜1時，h（x）＞h（1）=0，
當(dāng)x＞1時，h（x）＜h（1）=0，
從而當(dāng)0＜x＜1時，g′（x）＞0，
當(dāng)x＞1時，g′（x）＜0．
故當(dāng)0＜x＜1時，g（x）單調(diào)遞增，
當(dāng)x＞1時，g（x）單調(diào)遞減．
∴g（x）_max=g（1）=1．
∴要使

2x-xlnx

x+1

＜m成立，只需m＞1．
故選：A．

點(diǎn)評：本題考查了恒成立問題，考查了綜合利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是壓軸題．