Question

20．在等差數(shù)列{a_n}中，公差為d≠0，a₁=2且a₅是a₃與a₈的等比中項．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)b_n=$\frac{1}{（{a}_{n}-1）{a}_{n}}$，求數(shù)列{b_n}的前2016項的和．

Answer 1

分析 （1）設(shè){a_n}公差為d，根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)列方程解出d即可得出{a_n}的通項公式；
（2）使用列項法求和．

解答 解：（1）設(shè){a_n}公差為d，∵a₅是a₃與a₈的等比中項，
∴a₅²=a₃•a₈，即（2+4d）²=（2+2d）（2+7d），
解得d=1或d=0（舍），
∴a_n=a₁+（n-1）d=n+1．
（2）b_n=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．
∴b₁+b₂+b₃+…+b₂₀₁₆=1-$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$$+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{2016}-\frac{1}{2017}$=1-$\frac{1}{2017}$=$\frac{2016}{2017}$．

點評 本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，數(shù)列求和，屬于基礎(chǔ)題．