Question

8．已知f（x）=x²-a|x-1|+b（a＞0，b＞-1）．
（1）若b=0，a＞2，求f（x）在區(qū)間[0，2]內(nèi)的最小值m（a）；
（2）若f（x）在區(qū)間[0，2]內(nèi)不同的零點(diǎn)恰有兩個(gè)，求a-b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）確定f（x）的解析式，分段去掉絕對(duì)值，再求最小值．（2）分別討論f（x）在[0，1]和[1，2]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

解答 解：（1）由題知f（x）=x²-a|x-1|=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-ax+a，1≤x≤2}\\{{x}^{2}+ax-a，0≤x＜1}\end{array}\right.$，
當(dāng)0≤x＜1時(shí)，二次函數(shù)的軸為$x=-\frac{a}{2}$＜0，此時(shí)f（x）在[0，1）上單調(diào)遞增，
所以f（x）的最小值為m（a）=f（0）=-a；
當(dāng)1≤x≤2時(shí)，二次函數(shù)的軸為$x=\frac{a}{2}＞1$，
①當(dāng)$\frac{a}{2}＞2$即a＞4時(shí)，f（x）在[1，2]上單調(diào)遞減，所以f（x）的最小值為m（a）=f（2）=4-a；
②當(dāng)$\frac{a}{2}≤2$即2＜a≤4時(shí)，f（x）在$[1，\frac{a}{2}]上單調(diào)遞減，在[\frac{a}{2}，2]上單調(diào)遞增$，
所以f（x）的最小值為m（a）=f（$\frac{a}{2}$）=$-\frac{{a}^{2}}{4}+a$．
∴當(dāng)a＞4時(shí)，m（a）=-a；當(dāng)2＜a≤4時(shí)，m（a）=min{-a，$-\frac{{a}^{2}}{4}+a$}=-a
綜上，m（a）=-a
（2）$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+ax-a+b，0≤x≤1}\\{{x}^{2}-ax+a+b，1＜x≤2}\end{array}\right.$，因?yàn)閒（1）=1+b＞0
①根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，若f（x）=0在（1，2]內(nèi)沒(méi)有重根，
只需$\left\{\begin{array}{l}{f（0）≤0}\\{f（1）＞0}\\{f（2）≤0}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{-a+b≤0}\\{1+b＞0}\\{4-a+b≤0}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{b≤a}\\{b＞-1}\\{b≤a-4}\end{array}\right.$∴a-b≥4
②若f（x）=0在（1，2]內(nèi)有重根，只需$\left\{\begin{array}{l}{f（0）≤0}\\{f（1）＞0}\\{△=0}\\{1＜\frac{a}{2}≤2}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{b＞-1}\\{b＜a}\\{b=\frac{{a}^{2}}{4}-a}\\{2＜a≤4}\end{array}\right.$
$由-1＜b=\frac{{a}^{2}}{4}-a＜a，得a≠2，a＜8$
$a-b=a-（\frac{{a}^{2}}{4}-a）=-\frac{{a}^{2}}{4}+2a=-（\frac{a}{2}-2）^{2}+4$∈（3，4]
③當(dāng)f（x）在[0，1]上沒(méi)根，在[1，2]上有兩個(gè)不等根，
只需$\left\{\begin{array}{l}{f（0）＞0}\\{f（1）＞0}\\{f（2）≥0}\\{△＞0}\\{1＜\frac{a}{2}≤2}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{b-a＞0}\\{b＞-1}\\{a-b≤4}\\{2＜a≤4}\\{{a}^{2}-4（a+b）＞0}\end{array}\right.$
由線性規(guī)劃


知-3＜a-b≤4
綜上，a-b＞-3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了分段函數(shù)的最值問(wèn)題，同時(shí)考查了二次函數(shù)根的分布問(wèn)題，運(yùn)用了分類討論的數(shù)學(xué)思想，本題屬于難題，綜合性較強(qiáng)．