Question

已知圓C的圓心在直線l:3x-y=0上，且與直線l₁:x-y+4=0相切.

(1)若直線x-y=0截圓C所得弦長(zhǎng)為2,求圓C的方程.

(2)若圓C與圓x²+y²-4x-12y+8=0外切，試求圓C的半徑.

(3)滿足已知條件的圓顯然不只一個(gè)，但它們都與直線l₁相切，我們稱l₁是這些圓的公切線.這些圓是否還有其他公切線？若有，求出公切線的方程，若沒有，說明理由.

Answer 1

設(shè)圓C的圓心坐標(biāo)為(a,3a)，則它的半徑

(1)圓心C到直線x-y=0的距離

因而該直線截圓C所得弦長(zhǎng)為

所以

圓C的方程為

(2)兩圓的連心線長(zhǎng)為因?yàn)閮蓤A外切，

所以r=r+4,所以r=

(3)如果存在另一條公切線，則它必過l與l1的交點(diǎn)(2,6).

①若斜率不存在，則其方程為x=2,圓心C到它的距離|a-2|=r=|a-2|，由于方程需要對(duì)任意的a都成立，因此無解，所以它不是公切線.

②若斜率存在，設(shè)公切線的方程為y-6=k(x-2)，

即kx-y+6-2k=0,

所以

所以k2+6k-7=0,解出k=1或k=-7.

k=1時(shí)直線與l1重合，k=-7時(shí)，

直線方程為7x+y-20=0.

所以還存在一條公切線，其方程為7x+y-20=0.