Question

【題目】二次函數f（x）=ax2+bx+c（a，b∈R，a≠0）滿足條件：
①當x∈R時，f（x）的圖象關于直線x=﹣1對稱；②f（1）=1；③f（x）在R上的最小值為0；
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）求最大的m（m＞1），使得存在t∈R，只要x∈[1，m]，就有f（x+t）≤x．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）的對稱軸為x=﹣1，

∴ =﹣1，即b=2a

又f（1）=1，即a+b+c=1

由條件③知：a＞0，且 ，即b2=4ac

由上可求得

∴

（2）解：由（1）知： ，圖象開口向上．

而y=f（x+t）的圖象是由y=f（x）平移t個單位得到，要x∈[1，m]時，f（x+t）≤x

即y=f（x+t）的圖象在y=x的圖象的下方，且m最大．

∴1，m應該是y=f（x+t）與y=x的交點橫坐標，

即1，m是 的兩根，

由1是 的一個根，得（t+2）2=4，解得t=0，或t=﹣4

把t=0代入原方程得x1=x2=1（這與m＞1矛盾）

把t=﹣4代入原方程得x2﹣10x+9=0，解得x1=1，x2=9∴

m=9

綜上知：m的最大值為9

【解析】（1）利用條件①②③，可確定解析式中的參數，從而可得函數f（x）的解析式；（2）y=f（x+t）的圖象是由y=f（x）平移t個單位得到，要x∈[1，m]時，f（x+t）≤x即y=f（x+t）的圖象在y=x的圖象的下方，且m最大．
【考點精析】本題主要考查了二次函數的性質和二次函數在閉區(qū)間上的最值的相關知識點，需要掌握當時，拋物線開口向上，函數在上遞減，在上遞增；當時，拋物線開口向下，函數在上遞增，在上遞減；當時，當時，；當時在上遞減，當時，才能正確解答此題．