Question

已知拋物線y²=2px（p＞0）的焦點為雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的一個焦點，且兩條曲線都經(jīng)過點M（2，4）．
（1）求這兩條曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）已知點P在拋物線上，且它與雙曲線的左，右焦點構(gòu)成的三角形的面積為4，求點P的坐標(biāo)．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）利用拋物線y²=2px（p＞0）經(jīng)過點M（2，4），可得拋物線方程，利用雙曲線的定義或待定系數(shù)法，可求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)點P的坐標(biāo)為（x_p，y_p），由題意得，S△PF1F2=

1

2

F 1F2•|yP|=2•|yP|=4，即可求點P的坐標(biāo)．

解答： 解：（1）∵拋物線y²=2px（p＞0）經(jīng)過點M（2，4），
∴4²=2p×2，解得p=4，
∴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y²=8x．…（3分）
∴拋物線的焦點為（2，0），
∴雙曲線的焦點為F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0）．
法一：∴MF1=

(2+2)2+42

=4

2

，MF2=

(2-2)2+42

=4，
∴2a=|MF1-MF2|=4

2

-4，a=2

2

-2，a2=12-8

2

．     …（5分）
∴b2=c2-a2=4-(12-8

2

)=8

2

-8．
∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

12-8 2

-

y2

8 2 -8

=1．…（8分）
法二：a²+b²=c²=4，∵雙曲線經(jīng)過點M（2，4），∴

4

a2

-

16

b2

=1，…（5分）
解得  a2=12-8

2

，b2=8

2

-8．
∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

12-8 2

-

y2

8 2 -8

=1．…（8分）
（2）設(shè)點P的坐標(biāo)為（x_p，y_p），
由題意得，S△PF1F2=

1

2

F 1F2•|yP|=2•|yP|=4，
∴y_P=±2，…（11分）
∵點P在拋物線上，∴xP=

1

2

，
∴點P的坐標(biāo)為(

1

2

，2)或(

1

2

，-2)．…（14分）

點評：本題考查橢圓方程，雙曲線方程，考查三角形面積的計算，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．