Question

11．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+y²=1（a＞1），過直線l：x=2上一點P作橢圓的切線，切點為A，當P點在x軸上時，切線PA的斜率為±$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設O為坐標原點，求△POA面積的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由P在x軸設出P點坐標及直線PA方程，將PA方程與橢圓方程聯(lián)立，整理關于x的一元二次方程，△=0求得a²，即可求得橢圓方程；
（Ⅱ）設出切線方程和點P及點A的坐標，將切線方程代入橢圓方程，求得關于x的一元二次方程，△=0，求得A和P點的坐標，求得丨PO丨及A到直線OP的距離，根據(jù)三角形的面積公式求得S=丨k+$\sqrt{1+2{k}^{2}}$丨，平方整理關于k的一元二次方程，△≥0，即可求得S的最小值．

解答 解：（1）當P點在x軸上時，P（2，0），PA：$y=±\frac{{\sqrt{2}}}{2}（x-2）$，
$\left\{\begin{array}{l}y=±\frac{{\sqrt{2}}}{2}（x-2）\\ \frac{x^2}{a^2}+{y^2}=1\end{array}\right.⇒（\frac{1}{a^2}+\frac{1}{2}）{x^2}-2x+1=0$，
△=0⇒a²=2，橢圓方程為$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$；…-5
（2）設切線為y=kx+m，設P（2，y₀），A（x₁，y₁），
則$\left\{\begin{array}{l}y=kx+m\\{x^2}+2{y^2}-2=0\end{array}\right.$⇒（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0⇒△=0⇒m²=2k²+1，…7
且${x_1}=\frac{-2km}{{1+2{k^2}}}，{y_1}=\frac{m}{{1+2{k^2}}}$，y₀=2k+m
則$|PO|=\sqrt{{y_0}^2+4}$，
PO直線為$y=\frac{y_0}{2}x⇒$，A到直線PO距離$d=\frac{{|{y_0}{x_1}-2{y_1}|}}{{\sqrt{{y_0}^2+4}}}$，…-10
則${S_{△POA}}=\frac{1}{2}|PA|•d=\frac{1}{2}|{y_0}{x_1}-2{y_1}|=\frac{1}{2}|（2k+m）\frac{-2km}{{1+2{k^2}}}-\frac{2m}{{1+2{k^2}}}|$
=$|\frac{{1+2{k^2}+km}}{{1+2{k^2}}}m|=|k+m|=|k+\sqrt{1+2{k^2}}|$，…13
∴（S-k）²=1+2k²⇒k²+2Sk-S²+1=0，
$△=8{S^2}-4≥0⇒S≥\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，此時$k=±\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．…-15

點評 本題考查曲線方程的求法，考查三角形面積的最小值的求法，綜合性強，難度大，解題時要注意推理論證能力的培養(yǎng)，屬于中檔題．