Question

4．已知函數f（x）為奇函數，且當x＞0時，$f（x）={log_{\frac{1}{3}}}$2x
（1）求當x＜0時，函數f（x）的表達式            
（2）解不等式f（x）≤3．

Answer 1

分析 （1）根據奇函數的定義與性質，求出x＜0時f（x）的解析式即可；
（2）由題意，分別求出x＞0和x＜0時對應不等式的解集即可．

解答 解：（1）函數f（x）為奇函數，
當x＞0時，$f（x）={log_{\frac{1}{3}}}$2x，
所以，當x＜0時，-x＞0，
f（x）=-f（-x）=-${log}_{\frac{1}{3}}$2（-x）=-${log}_{\frac{1}{3}}$（-2x），
所以f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{log}_{\frac{1}{3}}2x，x＞0}\\{{-log}_{\frac{1}{3}}（-2x），x＜0}\end{array}\right.$；
（2）由題意：當x＞0時有${log}_{\frac{1}{3}}$2x≤3，解得x≥$\frac{1}{54}$；
當x＜0時有-${log}_{\frac{1}{3}}$（-2x）≤3，
即${log}_{\frac{1}{3}}$（-2x）≥-3，解得x≤-$\frac{27}{2}$；
綜上，原不等式的解集為{x|x≤-$\frac{27}{2}$或x≥$\frac{1}{54}$}．

點評 本題考查了利用函數的奇偶性求函數解析式的方法，以及分段函數“分段處理”的應用問題，屬于基礎題．