Question

已知等差數(shù)列{a_n}中，滿足a₃=5且a₁，a₂，a₄成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求a_n；
（Ⅱ）若數(shù)列{a_n}的公差為非零的常數(shù)，且b_n=

25

an•an+1

，記數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，當(dāng)T_n≤λ恒成立，求λ的最小值．

Answer 1

考點：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）根據(jù)等差數(shù)列{a_n}中，滿足a₃=5且a₁，a₂，a₄成等比數(shù)列，建立方程，求出首項與公差，即可求a_n；
（Ⅱ）確定數(shù)列{b_n}的通項，利用裂項法求和，根據(jù)T_n≤λ恒成立，即可求λ的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)公差為d，則有a1+2d=5，  (a1+d)2=a1(a1+3d)，
又a₁≠0，解得：a₁=5，d=0或a1=

5

3

，d=

5

3

，
∴a_n=5或an=

5

3

n（n∈N^*）
（Ⅱ）由題意an=

5

3

n，∴bn=

9

n(n+1)

=9(

1

n

-

1

n+1

)
∴Tn=9[(

1

1

-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n-1

-

1

n

)+(

1

n

-

1

n+1

)]=9(1-

1

n+1

)＜9．
∴λ的最小值為9．

點評：本題考查等差數(shù)列的通項與求和，考查學(xué)生的計算能力，確定數(shù)列的通項，正確求和是關(guān)鍵．