Question

【題目】已知函數(shù)定義在上的奇函數(shù)， 的最大值為.

（1）求函數(shù)的解析式；

（2）關(guān)于的方程在上有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）若存在，不等式成立，請(qǐng)同學(xué)們探究實(shí)數(shù)的所有可能取值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】試題分析：（1）根據(jù),利用的最大值為，可得，再根據(jù)即可確定的解析式；(2) 關(guān)于的方程在上有解，即在上有解，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的求出的值域，即可得結(jié)果；(3)利用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系，可得不等式成立等價(jià)于成立，即存在使得成立，求出的最小值即可得結(jié)果.

試題解析：（1）定義在上的奇函數(shù)，所以，又易得，從而， ，所以， . 故.

（2）關(guān)于的方程在上有解，即在上有解

令： ，則在上單調(diào)性遞增函數(shù)，

所以在上的值域?yàn)?/span>，

從而，實(shí)數(shù)的取值范圍.

（3）因?yàn)?/span>是奇函數(shù)且在為單調(diào)遞增函數(shù)，

所以由有，

即：存在使得成立，分別由以及在上的圖像可知， 在上是增函數(shù)，所以，所以

又即，所以，綜上： .