Question

已知單位向量

a

，

b

滿足|

a

-k

b

|=λ|k

a

+

b

|，其中k＞0，記函數(shù)f（λ）=

a

•

b

，1≤λ≤

3

，當f（λ）取得最小值時，與向量

b

垂直的向量可以是（　�。�

• A、

  a

  +2

  b

• B、

  a

  +

  1

  3

  b

• C、

  a

  -

  3

  2

  b

• D、

  a

  -

  3

  4

  b

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運算

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用,平面向量及應用

分析：根據(jù)題意，先求出函數(shù)f（λ）=

a

•

b

取得最小值是什么，再判定此時各選項是否滿足與向量

b

垂直即可．

解答： 解：∵單位向量

a

，

b

滿足|

a

-k

b

|=λ|k

a

+

b

|，
∴(

a

-k

b

)2=λ2(k

a

+

b

)2，
即1-2k

a

•

b

+k²=λ^2（（k²+2k

a

•

b

+1），
∴-2k

a

•

b

-2kλ²

a

•

b

=-1-k²+λ²k²+λ²；
∵k＞0，
∴

a

•

b

=

k2-λ2k2-λ2+1

2k(1+λ2)

=

(k2+1)(1-λ2)

2k(1+λ2)

=

k2+1

2k

（-1+

2

1+λ2

），
∴λ=

3

時，函數(shù)f（λ）=

a

•

b

取得最小值-

k2+1

4k

；
令

b

•（

a

+2

b

）=

a

•

b

+2

b

2=-

k2+1

4k

+2=0，
即k²-8k+1=0，解得k=4±

15

＞0，
∴

a

+2

b

可以與

b

垂直；
同理，排除其他選項．
故選：A．

點評：本題考查了平面向量的應用問題，也考查了求函數(shù)的最值問題，是綜合性題目，解題的關(guān)鍵是求出函數(shù)f（λ）=

a

•

b

的最小值，是中檔題．