已知四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形,AB∥CD,∠DAB=
π
2
,PA⊥底面ABCD,且AD=CD=
1
2
AB=1,M是PB的中點.
(1)求證:直線CM∥平面PAD;
(2)若直線CM與平面ABCD所成的角為
π
4
,求四棱錐P-ABCD的體積.
考點:棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面平行的判定
專題:空間位置關(guān)系與距離
分析:(1)取AB的中點N,由已知條件得MN∥平面PAD,CM
.
AD,由此能證明平面CMN∥平面PAD,從而得到CM∥平面PAD.
(2)由PA⊥底面ABCD,得MN⊥底面ABCD,由已知條件推導(dǎo)出PA=2MN=2CN=2CA=2,由此能求出四棱錐P-ABCD的體積.
解答: (1)證明:取AB的中點N,則MN
.
1
2
PA
,
故MN∥平面PAD,
又四邊形ADCM正方形,∴CM
.
AD,
故CM∥平面PAD,∴平面CMN∥平面PAD,
∴CM∥平面PAD.
(2)解:由PA⊥底面ABCD,得MN⊥底面ABCD,
則CM與平面ABCD所成的角為∠MCN=45°,
∴PA=2MN=2CN=2CA=2,∵AD=CD=
1
2
AB=1,
∴ABCD的面積S=
1
2
(1+2)×1=
3
2
,四棱錐P-ABCD的h=PA=2,
故四棱錐P-ABCD的體積V=
1
3
Sh=
1
3
×2×
1
2
(1+2)×1=1
點評:本題考查直線與平面平行的證明,考查四棱錐的體積的求法,解題時要認真審題,注意空間思維能力的培養(yǎng).
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

若函數(shù)f(x)在給定區(qū)間M上存在正數(shù)t,使得對于任意x∈M,有x+t∈M,且f(x+t)≥f(x),則稱f(x)為M上的t級類增函數(shù).給出4個命題
①函數(shù)f(x)=
4
x
+x是(1,+∞)上的3級類增函數(shù);
②函數(shù)f(x)=|log2(x-1)|是(1,+∞)上的1級類增函數(shù);
③若函數(shù)f(x)=sinx+ax是[
π
2
,+∞)上的
π
3
級類增函數(shù),則實數(shù)a的最小值為2;
④設(shè)f(x)是定義R在上的函數(shù),且滿足:1.對任意x∈R,恒有f(x)>0;2.對任意x1,x2∈[0,1],恒有
f(x1)
f(x2)
+
f(1-x1)
f(1-x2)
≤2;3.對任意x∈R,f(x)=
1
f(x+
1
2
)
,若函數(shù)f(x)是[1,+∞)上的t級類增函數(shù),則實數(shù)t的取值范圍為(0,+∞).
以上命題中為真命題的是
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

函數(shù)f(x)=sinx-cosx的最小值是
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知集合P={x|x=a2+1,a∈R},Q={x|x=a2-4a+5,a∈R},則P與Q的關(guān)系是
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

判斷下列命題的正確性,并把所有正確命題的序號都填在橫線上
 

①若直線a∥直線b,b?平面α,則直線a∥平面α
②在正方體內(nèi)任意畫一條線段l,則該正方體的一個面上總存在直線與線段l垂直
③若平面β⊥平面α,平面γ⊥α,則平面β∥平面γ
④若直線a⊥平面α,直線b∥平面α,則直線b⊥直線a.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知平面向量
a
b
的夾角為60°,
a
=(2,0),|
b
|=1,則|
a
-2
b
|的值為
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

下列說法正確的是
 

①6名學(xué)生爭奪3項冠軍,冠軍的獲得情況共有36種.
②若x,y∈R,i為虛數(shù)單位,且(x-2)i-y=-1+i,則(1+i)x+y的值為-4.
③|r|≤1,并且|r|越接近1,線性相關(guān)程度越弱;|r|越接近0,線性相關(guān)程度越強.
④在獨立性檢驗時,兩個變量的2×2列聯(lián)表中對角線上數(shù)據(jù)的乘積相差越大,說明這兩個變量沒有關(guān)系成立的可能性就越大
⑤在做回歸分析時,殘差圖中殘差點分布的帶狀區(qū)域的寬度越窄相關(guān)指數(shù)越。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

下列命題錯誤的是( 。
A、命題“若lgx=0,則x=1”的逆否命題為“若x≠1,則lgx≠0”
B、命題“若x>2,則
1
x
1
2
”的否命題是“若x>2,則
1
x
1
2
C、雙曲線
x2
9
-
y2
16
=1的漸近線方程為y=±
4
3
x
D、若p∧q為假命題,則p與q中至少有一個為假命題

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

集合A={x|x2-5x+4≤0},B={x|x2-5x+6≥0},則A∩B=( 。
A、{x|1≤x≤2或3≤x≤4}
B、{x|1≤x≤2且3≤x≤4}
C、{1,2,3,4}
D、{x|-4≤x≤-1或2≤x≤3}

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同步練習(xí)冊答案