Question

13．在平面內(nèi)，定點A，B，C，D滿足$|{\overrightarrow{DA}}|=|{\overrightarrow{DB}}|=|{\overrightarrow{DC}}|$，$\overrightarrow{DA}•\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{DB}•\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{DC}•\overrightarrow{DA}=-2$，動點M，N滿足$|{\overrightarrow{AN}}|=2$、$\overrightarrow{NM}$=$\overrightarrow{MC}$，則${|{\overrightarrow{AM}}|^2}$的最小值是（　�。�

• A． $4-2\sqrt{3}$
• B． $\frac{9}{4}$
• C． $\frac{{13-4\sqrt{3}}}{4}$
• D． $2+\sqrt{3}$

Answer 1

分析 根據(jù)題意可設(shè)D（0，0），A（2，0），B（-1，$\sqrt{3}$），C（-1，-$\sqrt{3}$），
由|$\overrightarrow{AN}$|=2再設(shè)N（2+2cosθ，2sinθ），由$\overrightarrow{NM}$=$\overrightarrow{MC}$得點M坐標(biāo)，再計算$\overrightarrow{AM}$與${\overrightarrow{AM}}^{2}$的最小值．

解答 解：平面內(nèi)定點A，B，C，D滿足$|{\overrightarrow{DA}}|=|{\overrightarrow{DB}}|=|{\overrightarrow{DC}}|$，$\overrightarrow{DA}•\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{DB}•\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{DC}•\overrightarrow{DA}=-2$，
可設(shè)：D（0，0），A（2，0），B（-1，$\sqrt{3}$），C（-1，-$\sqrt{3}$），
∵動點M，N滿足|$\overrightarrow{AN}$|=2，$\overrightarrow{NM}$=$\overrightarrow{MC}$，
可設(shè)N（2+2cosθ，2sinθ），由$\overrightarrow{NM}$=$\overrightarrow{MC}$得M（$\frac{1}{2}$+cosθ，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$+sinθ），
∴$\overrightarrow{AM}$=（cosθ-$\frac{3}{2}$，sinθ-$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
∴${\overrightarrow{AM}}^{2}$=${（cosθ-\frac{3}{2}）}^{2}$+${（sinθ-\frac{\sqrt{3}}{2}）}^{2}$
=cos²θ-3cosθ+$\frac{9}{4}$+sin²θ-$\sqrt{3}$sinθ+$\frac{3}{4}$
=4-3cosθ-$\sqrt{3}$sinθ
=4-2$\sqrt{3}$sin（θ+$\frac{π}{3}$）≥4-2$\sqrt{3}$，
當(dāng)且僅當(dāng)sin（θ+$\frac{π}{3}$）=1時取等號，
∴${|{\overrightarrow{AM}}|^2}$的最小值是4-2$\sqrt{3}$．
故選：A．

點評 本題考查了平面向量坐標(biāo)運算性質(zhì)、模的計算公式、數(shù)量積運算性質(zhì)、三角函數(shù)求值等問題，是綜合題．