Question

8．已知二項(xiàng)式（x+3x²）ⁿ，若它的二項(xiàng)式系數(shù)之和為128．
（1）求展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；
（2）求展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)之和為2ⁿ=128 求得n的值，可得二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第四項(xiàng)和第五項(xiàng)，利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求出這2項(xiàng)．
（2）假設(shè)第r+1項(xiàng)的系數(shù)最大，即${C}_{7}^{r}$•3^r最大，列出不等式組求得r的值，可得結(jié)論．

解答 解：（1）∵二項(xiàng)式（x+3x²）ⁿ，若它的二項(xiàng)式系數(shù)之和為2ⁿ=128，∴n=7，
故二項(xiàng)式（x+3x²）ⁿ=（x+3x²）⁷ 的展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第四項(xiàng)和第五項(xiàng)，
即T₄=${C}_{7}^{3}$•x⁴•（3x²）³=945x¹⁰；  T₅=${C}_{7}^{4}$•x³•（3x²）⁴=2835x¹¹．
（2）二項(xiàng)式（x+3x²）⁷ 的展開(kāi)式中的通項(xiàng)公式為T(mén)_r+1=${C}_{7}^{r}$•3^r•x^7+r，
假設(shè)第r+1項(xiàng)的系數(shù)最大，即${C}_{7}^{r}$•3^r最大，
則有$\left\{\begin{array}{l}{{C}_{7}^{r}{•3}^{r}{≥C}_{7}^{r+1}{•3}^{r+1}}\\{{C}_{7}^{r}{{•3}^{r}≥C}_{7}^{r-1}{•3}^{r-1}}\end{array}\right.$，結(jié)合r=0，1，2，3，4，5，6，7，
求得r=5或r=6，即第6項(xiàng)或第7項(xiàng)的系數(shù)最大，
即T₆=5103•x¹² ，或T₇=${C}_{7}^{6}$•3⁶•x¹³=5103x¹³．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．