Question

5．A，B兩組各有7位病人，他們服用某種藥物后的康復(fù)時間（單位：天）記錄如下：
A組：10，11，12，13，14，15，16，；
B組：12，13，15，16，17，14，a．
假設(shè)所有病人的康復(fù)時間相互獨立，從A，B兩組隨機各選1人，A組選出的人記為甲，B組選出的人記為乙．
（1）如果a=11，求B組的7位病人康復(fù)時間的平均數(shù)和方差；
（2）如果a=14，設(shè)甲與乙的康復(fù)時間都低于15，記甲的康復(fù)時間與乙的康復(fù)時間的差的絕對值X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）當a=11時，先求出B組的7位病人康復(fù)時間的平均數(shù)，由此能求出B組的7位病人康復(fù)時間的方差．
（2）由已知得X的可能取值為0，1，2，3，4，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和EX．

解答 解：（1）當a=11時，B組的7位病人康復(fù)時間的平均數(shù)：
$\overline{x}$=$\frac{1}{7}$（12+13+15+16+17+14+11）=14，
B組的7位病人康復(fù)時間的方差：
S²=$\frac{1}{7}$[（12-14）²+（13-14）²+（15-14）²+（16-14）²+（17-14）²+（14-14）²+（11-14）²=4．
（2）∵a=14，設(shè)甲與乙的康復(fù)時間都低于15，
甲的康復(fù)時間與乙的康復(fù)時間的差的絕對值X，
∴X的可能取值為0，1，2，3，4，
P（X=0）=$\frac{1}{5}×\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}×\frac{1}{5}+\frac{1}{4}×\frac{1}{5}$=$\frac{1}{5}$，
P（X=1）=$\frac{1}{5}×\frac{1}{2}$+$\frac{1}{5}×\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}×\frac{1}{5}+$$\frac{1}{5}×\frac{1}{2}$=$\frac{3}{10}$，
P（X=2）=$\frac{1}{5}×\frac{1}{4}$+$\frac{1}{5}×\frac{1}{4}$+$\frac{1}{5}×\frac{1}{4}$+$\frac{1}{5}×\frac{1}{2}$=$\frac{1}{4}$，
P（X=3）=$\frac{1}{5}×\frac{1}{4}+\frac{1}{5}×\frac{1}{2}$=$\frac{3}{20}$，
P（X=4）=$\frac{1}{5}×\frac{1}{2}$=$\frac{1}{10}$，
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3	4
P	$\frac{1}{5}$	$\frac{3}{10}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{3}{20}$	$\frac{1}{10}$

EX=$0×\frac{1}{5}+1×\frac{3}{10}+2×\frac{1}{4}+3×\frac{3}{20}+4×\frac{1}{10}$=$\frac{33}{20}$．

點評 本題考查方差的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意相互獨立事件乘法公式的合理運用．