Question

14．已知F₁、F₂是橢圓C的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)A，B為其左右頂點(diǎn)，P為橢圓C上（異于A、B）的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，$\frac{3}{2}$）時(shí)，△PF₁F₂的面積為$\frac{3}{2}$，分別過點(diǎn)A、B、P作橢圓C的切線l₁，l₂，l，直線l與l₁，l₂分別交于點(diǎn)R，T．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）（i）求證：以RT為直徑的圓過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（ii）求△RTM的面積最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，$\frac{3}{2}$）時(shí)，△PF₁F₂的面積為$\frac{3}{2}$，求出c=1，2a=|PF₁|+|PF₂|=4，由此能求出橢圓C的方程．
（Ⅱ）（i）設(shè)直線l為：y=kx+m，與橢圓聯(lián)立，得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，由此利用根的判別式、橢圓對稱性，向量數(shù)量積，結(jié)合已知條件能證明以RT為直徑的圓過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)M的坐標(biāo)．
（ii）由圖形的對稱性，取M為右焦點(diǎn)F₂（1，0），S_△RTM=S_{四邊形ABTR}-S_△BDA=2（m+k），由此能求出△RTM的面積的最小值為3．

解答 解：（Ⅰ）∵F₁、F₂是橢圓C的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)A，B為其左右頂點(diǎn)，
P為橢圓C上（異于A、B）的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，$\frac{3}{2}$）時(shí)，△PF₁F₂的面積為$\frac{3}{2}$，
∴$\frac{1}{2}×2c×\frac{3}{2}$=$\frac{3}{2}$，解得c=1，
又∵2a=|PF₁|+|PF₂|=4，∴a=2，b=$\sqrt{3}$，
故橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
證明：（Ⅱ）（i）由題意直線l的斜率存在，設(shè)直線l為：y=kx+m，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\\{y=kx+m}\end{array}\right.$，得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，
△=64k²m²-4（3+4k²）（4m²-12）=0，
化簡，得m²=3+4k²，
R（-2，-2k+m），T（2，2k+m），
由對稱性，知定點(diǎn)M在x軸上，
設(shè)M（x，0），M在RT為直線的圓上，∴MR⊥MT，
∴$\overrightarrow{MR}•\overrightarrow{MT}$=（-2-x）（2-x）+（-2k+m）（2k+m）=x²-4+m²-4k²=0，
解得x=±1，
∴定點(diǎn)M即為左右焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂，其坐標(biāo)為（±1，0）．
解：（ii）由圖形的對稱性，不妨取M為右焦點(diǎn)F₂（1，0），
點(diǎn)P在x軸上方，
S_△RTM=S_{四邊形ABTR}-S_△BDA=2（m+k），
令m+k=t，則m=t-k，代入m²=3+4k²，
得3k²+2tk+3-t²=0，
△=4（4t²-9）≥0，
∵t＞0，∴t≥$\frac{3}{2}$，S_△RDA≥3，
當(dāng)m=2，k=-$\frac{1}{2}$時(shí)，取等號，
故△RTM的面積的最小值為3．

點(diǎn)評 本題考查橢圓方程的求法，考查圓過定點(diǎn)的證明及定點(diǎn)坐標(biāo)的求法，考查三角形面積的最小值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意根的判別式、橢圓對稱性，向量數(shù)量積的合理運(yùn)用．