Question

18．已知數列{α_n}的前n項和為n²+pn．數列{b_n}的前n項和為32n-n²．
（1）若α₁₀=b₁₀，求p的值；
（2）取數列{b_n}的第1項．第3項．第5項…構成-個新的數列{c_n}，求數列{c_n}的通項公式；
（3）設d_n=|c_n|．求數列{d_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）分別根據數列{α_n}的前n項和為n²+pn．數列{b_n}的前n項和為32n-n²，得到數列{α_n}和數列{b_n}的通項公式，再根據α₁₀=b₁₀，代值計算即可；
（2）由數列{b_n}是以31為首項，以-2為公差的等差數列，可知數列{c_n}是以31為首項，以-4為公差的等差數列，即可求出通項公式，
（3）先判斷c_n從第幾項小于0，再分類求出數列{d_n}的前n項和T_n．

解答 解：（1）∵數列{α_n}的前n項和為n²+pn，
∴α_n=n²+pn-（n-1）²-p（n-1）=2n+p-1，
∵數列{b_n}的前n項和為32n-n²，
∴b_n=32n-n²-32（n-1）+（n-1）²=-2n+33，
∵α₁₀=b₁₀，
∴2×10+p-1=-2×10+33，
∴p=-6，
（2）由（1）可知，b_n=-2（n-1）+31，
當n=1時，b₁=31，
即數列{b_n}是以31為首項，以-2為公差的等差數列，
∵取數列{b_n}的第1項．第3項．第5項…構成-個新的數列{c_n}，
∴數列{c_n}是以31為首項，以-4為公差的等差數列，
∴c_n=31-4（n-1）=-4n+35，
（3）由（2）可知當c_n=-4n+35＞0時，解得n≤8，
當c_n=-4n+35＜0時，解得n≥9，
∵d_n=|c_n|，
∴n≤8時，T_n=31+27+…+（-4n+35）=$\frac{n（31+35-4n）}{2}$=-2n²+33n
當n≥9時，T_n=31+27+…+3+|-1|+|-5|+…+|-4n+35|=（31+27+…+3）+（1+5+…+4n-35）=$\frac{8（31+3）}{2}$+$\frac{（n-8）（1+4n-35）}{2}$=2n²-33n+272，
綜上所述T_n=$\left\{\begin{array}{l}{-2{n}^{2}+33n，n≤8}\\{2{n}^{2}-33n+272，n≥9}\end{array}\right.n∈N*$

點評 本題考查了數列的遞推公式和等差的數列的定義以及性質和前n項和公式，屬于中檔題．