Question

9．函數(shù)f（x）=x-x²lnx的最大值是1．

Answer 1

分析 求出函數(shù)f（x）的導數(shù)，令g（x）=2xlnx+x-1，求出導數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間，由g（x）的單調(diào)性可得f（x）的極值點，進而得到f（x）的單調(diào)區(qū)間，進而得到f（x）的極大值，且為最大值1．

解答 解：函數(shù)f（x）=x-x²lnx的導數(shù)為f′（x）=1-（2xlnx+x）
令g（x）=2xlnx+x-1，g′（x）=2（lnx+1）+1=2lnx+3，
當x＞${e}^{-\frac{3}{2}}$時，g′（x）＞0，可得g（x）在（${e}^{-\frac{3}{2}}$，+∞）遞增，
又g（1）=0，則g（x）=0的解只有x=1，
當x＞1時，f′（x）＜0，f（x）遞減，
當0＜x＜1時，f′（x）＞0，f（x）遞增．
則f（x）在x=1處取得極大值，也為最大值，且為1．
故答案為：1．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求單調(diào)區(qū)間和極值、最值，主要考查函數(shù)的單調(diào)性的運用，屬于中檔題．