Question

6．已知點(diǎn)P到點(diǎn)A（-2，0）的距離是點(diǎn)P到點(diǎn)B（1，0）的距離的2倍．
（Ⅰ）求點(diǎn)P的軌跡方程；
（Ⅱ）若點(diǎn)P與點(diǎn)Q關(guān)于點(diǎn)（2，1）對(duì)稱，點(diǎn)C（3，0），求|QA|²+|QC|²的最大值和最小值．
（Ⅲ）若過點(diǎn)A的直線交第（Ⅱ）問中的點(diǎn)Q的軌跡于E（x₁，y₁）、F（x₂，y₂）（x₁＜x₂）兩點(diǎn)，且$\overrightarrow{FA}$=λ$\overrightarrow{EA}$，求λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過題意，利用兩點(diǎn)間距離公式計(jì)算即得結(jié)論；
（Ⅱ）通過設(shè)Q（2+2cosθ，2+2sinθ），利用兩點(diǎn)間距離公式及三角函數(shù)的有界性即得結(jié)論；
（Ⅲ）通過數(shù)形結(jié)合法如圖，可得當(dāng)EF為圓N的直徑時(shí)λ最大，計(jì)算即可．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)P（x，y），
∵點(diǎn)P到點(diǎn)A（-2，0）的距離是點(diǎn)P到點(diǎn)B（1，0）的距離的2倍，
∴$\sqrt{（x+2）^{2}+{y}^{2}}$=2$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$，即x²+y²-4x=0，
化簡(jiǎn)可得：（x-2）²+y²=4，
∴點(diǎn)P（x，y）的軌跡是以M（2，0）為圓心，2為半徑的圓，
其軌跡方程為：（x-2）²+y²=4；
（Ⅱ）由題可得，點(diǎn)Q的軌跡是以N（2，2）為圓心，2為半徑的圓N，
設(shè)Q（2+2cosθ，2+2sinθ），
則|QA|²=（2+2cosθ+2）²+（2+2sinθ）²=24+16cosθ+8sinθ，
|QC|²=（2+2cosθ-3）²+（2+2sinθ）²=9-4cosθ+8sinθ，
∴|QA|²+|QC|²=33+12cosθ+16sinθ=33+20sin（θ+φ），其中tanφ=$\frac{3}{4}$，
當(dāng)sin（θ+φ）=1時(shí)|QA|²+|QC|²取最大值，當(dāng)sin（θ+φ）=-1時(shí)|QA|²+|QC|²取最小值，
∴|QA|²+|QC|²的最大值、最小值分別為：53、13；
（Ⅲ）如圖，根據(jù)題意可得：當(dāng)EF為圓N的直徑時(shí)，
|AN|=$\sqrt{（2+2）^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴|AE|=2$\sqrt{5}$-2，|AF|=2$\sqrt{5}$+2，
此時(shí)λ最大為$\frac{2+2\sqrt{5}}{2\sqrt{5}-2}$=$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$，
∴λ的取值范圍為：（0，$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題是一道直線與圓錐曲線的綜合題，涉及到直線與圓的位置關(guān)系、三角函數(shù)有界性、兩點(diǎn)間距離公式等基礎(chǔ)知識(shí)，注意解題方法的積累，屬于難題．