Question

20．若函數(shù)f（x）=2cos²x-2acosx+a²-2a-1（0$≤x≤\frac{π}{2}$）的最小值為-2，求實(shí)數(shù)a的值并求此時(shí)f（x）的最大值．

Answer 1

分析 化簡可得f（x）=2（cosx-$\frac{a}{2}$）²+$\frac{{a}^{2}}{2}$-2a-1，結(jié)合0≤cosx≤1分類討論由二次函數(shù)區(qū)間的最值可得．

解答 解：化簡可得f（x）=2cos²x-2acosx+a²-2a-1
=2（cosx-$\frac{a}{2}$）²+$\frac{{a}^{2}}{2}$-2a-1
∵0$≤x≤\frac{π}{2}$，∴0≤cosx≤1，
當(dāng)$\frac{a}{2}$＜0即a＜0時(shí)，函數(shù)f（x）在cosx∈[0，1]單調(diào)遞增，
當(dāng)cosx=0時(shí)函數(shù)f（x）取最小值a²-2a-1=2，解得a=-1，或a=3（舍去），
此時(shí)f（x）=2（cosx+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{2}$，當(dāng)cosx=1時(shí)，函數(shù)取最大值6；
當(dāng)0≤$\frac{a}{2}$≤1即0≤a≤2時(shí)，函數(shù)f（x）在cosx∈[0，$\frac{a}{2}$]單調(diào)遞減，
在cosx∈[$\frac{a}{2}$，1]單調(diào)遞增，當(dāng)cosx=$\frac{a}{2}$時(shí)函數(shù)f（x）取最小值$\frac{{a}^{2}}{2}$-2a-1=2，
解得a=2±$\sqrt{10}$（舍去），不合題意；
當(dāng)$\frac{a}{2}$＞1即a＞2時(shí)，函數(shù)f（x）在cosx∈[0，1]單調(diào)遞減，
當(dāng)cosx=1時(shí)函數(shù)f（x）取最小值a²-4a+1=2，解得a=2+$\sqrt{2}$，或a=2-$\sqrt{2}$（舍去），
此時(shí)當(dāng)cosx=0時(shí)，函數(shù)取最大值2$\sqrt{2}$+1
綜上可得當(dāng)a=-1時(shí)，函數(shù)取最大值6，當(dāng)a=2+$\sqrt{2}$時(shí)，函數(shù)取最大值2$\sqrt{2}$+1

點(diǎn)評 本題考查三角函數(shù)的最值，涉及二次函數(shù)區(qū)間的最值和分類討論的思想，屬中檔題．