Question

5．函數(shù)f（x）=sinωx（ω＞0）的圖象在y軸右邊的對(duì)稱(chēng)軸與其交點(diǎn)從左向右依次記為在點(diǎn)列A₁、A₂、A₃、…、A_n、…在點(diǎn)列{A_n}中存在不同三點(diǎn)A_k、A_i、A_p，使得△A_kA_iA_p是等腰直角三角形，將滿(mǎn)足上述條件的ω值從小到大組成的數(shù)列記為{ω_n}．則ω_{2016=$\frac{4031π}{2}$}．

Answer 1

分析 令ωx=kπ+$\frac{π}{2}$，求得對(duì)稱(chēng)軸方程，求得A₁、A₂、A₃、…、點(diǎn)的坐標(biāo)，由△A_kA_iA_p是等腰直角三角形，結(jié)合兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，得到ω_n=$\frac{（2n-1）π}{2}$，即可得到所求值．

解答 解：令ωx=kπ+$\frac{π}{2}$，可得x=$\frac{（2k+1）π}{2ω}$，k∈Z，
由題意可得x=$\frac{π}{2ω}$，$\frac{3π}{2ω}$，$\frac{5π}{2ω}$，…，$\frac{（2n-1）π}{2ω}$，
即有A₁（$\frac{π}{2ω}$，1），A₂（$\frac{3π}{2ω}$，-1），A₃（$\frac{5π}{2ω}$，1），A₄（$\frac{7π}{2ω}$，-1），…，
由△A₁A₂A₃是等腰直角三角形，可得
k${\;}_{{A}_{1}{A}_{2}}$•k${\;}_{{A}_{2}{A}_{3}}$=-1，即為$\frac{2}{-\frac{π}{ω}}$•$\frac{-2}{-\frac{π}{ω}}$=-1，
解得ω=$\frac{π}{2}$；
同理由△A₁A₄A₇是等腰直角三角形，可得
k${\;}_{{A}_{1}{A}_{4}}$•k${\;}_{{A}_{4}{A}_{7}}$=-1，解得ω=$\frac{3π}{2}$；
由△A₁A₆A₁₁是等腰直角三角形，可得
k${\;}_{{A}_{1}{A}_{6}}$•k${\;}_{{A}_{6}{A}_{11}}$=-1，解得ω=$\frac{5π}{2}$；
…，可得ω_n=$\frac{（2n-1）π}{2}$，
則ω₂₀₁₆=$\frac{（2×2016-1）π}{2}$=$\frac{4031π}{2}$．
故答案為：$\frac{4031π}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正弦函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸方程，通過(guò)兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，歸納得到等差數(shù)列是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．