Question

15．（1）若雙曲線$\frac{{x}^{2}}{5}$-$\frac{{y}^{2}}{m}$=1的離心率e∈（1，2），求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）若方程$\frac{{x}^{2}}{2t}$-$\frac{{y}^{2}}{t-1}$=1表示橢圓，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求得雙曲線的a，b，c，由離心率公式e=$\frac{c}{a}$，結(jié)合條件解不等式即可得到所求范圍；
（2）將方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，由題意可得2t＞0，1-t＞0，且2t≠1-t，解不等式即可得到所求范圍．

解答 解：（1）雙曲線$\frac{{x}^{2}}{5}$-$\frac{{y}^{2}}{m}$=1的a=$\sqrt{5}$，b=$\sqrt{m}$，
c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=$\sqrt{5+m}$，
可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{5+m}}{\sqrt{5}}$，
由1＜$\frac{\sqrt{5+m}}{\sqrt{5}}$＜2，解得0＜m＜15．
則m的取值范圍是（0，15）；
（2）方程$\frac{{x}^{2}}{2t}$-$\frac{{y}^{2}}{t-1}$=1表示橢圓，
即有方程為$\frac{{x}^{2}}{2t}$+$\frac{{y}^{2}}{1-t}$=1，
可得2t＞0，1-t＞0，且2t≠1-t，
即0＜t＜1，且t≠$\frac{1}{3}$，
則實(shí)數(shù)t的取值范圍為（0，$\frac{1}{3}$）∪（$\frac{1}{3}$，1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線和橢圓的方程和性質(zhì)，主要是離心率，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．